Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
Основным является случай (13). Рассмотрим его подробнее. Как отмечалось, в этом случае все частицы среды движутся по эллиптическим траекториям. Это обстоятельство подсказывает и форму тела, которую удобнее всего выбрать для моделирования. Форма должна быть эллиптической, причем такой, которая совпадает с одной из траекторий (21). Закон движения (23) диктует и вид необходимых краевых условий: краевые условия должны быть такими, чтобы вектор скорости был направлен по касательной к границе, а величина его определялась законом Кеплера:
V х r = const, (V • n) = 0. (30)
Итак, если на границе эллиптической области задается кепле-ровское распределение скоростей, то при выполнении некоторых дополнительных условий (требование единственности решения и отсутствия динамических эффектов) внутри области мы получаем однородную, аффинную деформацию эллиптического типа (13). Таким способом мы воспроизводим ситуацию, которая была описана выше: имеем тело, подверженное растяжению и сжатию вдоль ортогональных направлений с некоторой постоянной скоростью. Причем указанные направления относительно тела непрерывно поворачиваются. Следовательно, в первом приближении мы получаем ситуацию, характерную для приливных деформаций.
Далее, условие постоянства секториальной скорости приводит к тому, что линейная скорость различных точек границы должна быть различной (наибольшей на малой оси эллипса и наименьшей на большей оси). В результате участки границы должны периодически растягиваться и сжиматься. В действительности этого не происходит (по крайней мере для небесных тел с внешней твердой поверхностью). Более точным будет предположение, согласно которому линейные участки границы считаются нерастяжимыми, поэтому краевые условия (30) необходимо заменить на следующие:
|v | = V0 = const, (V • n) = 0. (31)
В случае небольших эксцентриситетов условия (30) и (31) близки между собой.
Таким образом, можно сделать следующий общий вывод.
Для моделирования приливных деформаций необходимо осуществить деформирование области, имеющей форму эллипса, путем задания на границе области условий, удовлетворяющих равенствам (31) (рис. 4.5). При малых эксцентриситетах условия (31) близки к (30), а значит и решение задачи (31) будет близко к решению (13).
4.2. Приливное деформирование как суперпозиция однородных сдвигов
Анализ приливного деформирования представляет интерес и еще с одной точки зрения. А именно: вместо элементарного акта растяжения тела вдоль фиксированного направления и одновременного сжатия в ортогональных направлениях можно взять элементарный сдвиг тела. Можно представить себе, что сдвиг реализуется между двумя параллельными пластинами, т. е. реализуется течение Куэт-та. При этом тело относительно плоскостей сдвига непрерывно поворачивается. В зависимости от ориентации вектора поворота могут реализоваться различные режимы приливных деформаций. Нормаль к пластине и направление ее движения выделяют в пространстве три взаимно ортогональных направления. Раскладывая вектор вращения тела по данным направлениям, получим три основных случая деформирования тела. Один из них, как и следовало ожидать, совпадет с тем, который рассмотрен выше, два других дадут новый тип деформаций.
Рассмотрим последовательно указанные случаи. Выберем систему координат, как показано на рис. 4.6. В случае простого сдвига число степеней свободы равно единице и поле скоростей имеет вид
V1 = ух 2, V 2 = 0, V 3 = 0, (32)
где v 1, V 2, V 3 — компоненты вектора скорости в декартовых координатах; (х 1, х2, х3), у > 0 — заданная постоянная. Будем искать новые классы сложных нагружений путем наложения последовательностей
Рис. 4.5.
течений вида (32). Для этого предположим, что поле скоростей (32) реализуется в промежутке времени t от 0 до At. За это время каждая материальная точка (x 1, x 2, x 3) получит следующее перемещение:
v 1D t = gx2A t, v2At = 0, v3At = 0. (33)
Предположим, что устройство нагружения представляет собой две параллельные пластины x 2 = ± H. Причем если пластины смещаются вдоль своих плоскостей на векторы {±gHA t, 0, 0}, то материальные точки, заключенные между ними, получают смещения (33). Таким образом, возможная неустойчивость процесса, инерционные и краевые эффекты исключаются.
Итак, пусть материальные точки некоторого тела сместились на вектор (33). Зафиксируем новые положения всех точек и удалим устройство нагружения x2 = ±H. Затем введем новое устройство нагружения x 2 = ±H, где система координат 0x Jx 2x 3 повернута относительно прежней системы на некоторый угол, пропорциональный величине At. Новое устройство «включим» на время At. На прежние смещения (33) наложатся смещения того же типа, но в координатах 0x Jx2x3 и т. д. Таким образом, задавая различные программы поворота осей, можно получать различные типы сложных нагружений. Выкладки будут проще, если указанную суперпозицию рассмотреть с другой точки зрения, а именно: после первого шага (33) удалим устройство нагружения x2 = ±H и затем за следующий промежуток времени от t = A t до t = 2A t повернем тело как жесткое целое на угол wA t. После этого снова введем устройство
