Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
d ln r da
—-— = кcos2a, — = W - кsin2a (28)
dt dt
Последнее уравнение показывает, что угловая скорость движения материальной точки вокруг центра зависит не только от скорости вращения W, но и от скорости растяжения к. Это становится очевидным, если обратиться к рис. 4.1 (см. с. 56). Мы видим, что компоненты вектора скорости, связанные с растяжением, дают определенную составляющую также на нормаль к радиусу, т. е. вносят свой вклад в угловую скорость. Этот вклад достигает наибольшей величины при a = p/4. Если значение к приближается к величине W или превосходит ее, то появляются направления, где указанные скорости полностью компенсируют друг друга. Преодолеть этот радиус любая материальная точка уже не может — вследствие непрерывного растяжения с течением времени точка уходит на бесконечность по закону (25) или (26). При этом секториальная скорость точек также сохраняется постоянной (как и для эллиптических траекторий).
Рассматриваемый класс аффинных деформаций обладает еще одной очень интересной особенностью. Для того чтобы ее понять, обратимся снова к уравнениям (13). В соответствии с этими уравнениями все точки среды движутся согласованно и по определенному закону. В чем причина такой согласованности? Причины как таковые (т. е. поле напряжений) здесь не рассматриваются. Для этого необходимы данные о реологии среды. Но в общем случае можно сказать, что главная причина состоит в том, что мы рассматриваем не набор отдельных частиц, а именно сплошную среду, подверженную аффинной деформации. В свою очередь в качестве последней выступают определенные условия на границе. (Граничные скорости должны линейно зависеть от декартовых координат границы.) Эту ситуацию проще всего пояснить на таком примере. Пусть у нас есть однородный цилиндрический стержень. Растянем его, задав на концах одинаковые по величине и противоположно направленные смещения. Тогда при достаточно общих предположениях (устойчивость процесса и отсутствие динамики) можно утверждать, что независимо от реологии материала, распределение смещений по длине стержня
будет линейным: середина стержня останется неподвижной, а смещения остальных точек будут пропорциональны расстоянию до середины. Причина таких смещений заключается только в специфике краевых условий и том факте, что соседние элементарные объемы тела взаимодействуют между собой. Для стержня описанная ситуация представляется очевидной. (Строго говоря, достаточно только одного факта: при симметричном растяжении однородного стержня середина его остается неподвижной независимо от вида материала, из которого этот стержень изготовлен.)
В задаче (13) мы имеем точно такую же ситуацию. (Здесь это уже не так очевидно, как для стержня.) Если мы на границе задаем скорости, удовлетворяющие равенствам (13), то распределение скоростей вида (13) реализуется и внутри области независимо от реологии среды.
Теперь можно рассмотреть следующую интерпретацию равенств (13). Предположим, что все связи между элементарными объемами среды распались и их роль на себя взяли некоторые массовые силы. Возникает вопрос, какими должны быть силы, чтобы они могли обеспечить такое же движение отдельных частиц, которое реализуется при их согласованном поведении в сплошной среде.
Структура уравнений (13) позволяет легко ответить на этот вопрос. Продифференцируем каждое из уравнений (13). В результате получим систему:
d 2 d 2
a x ^ л л a x о л л
—Т = -(W2 - k )xi, —22 = -(W2 - k )x2. (29)
dt2 1 dt2 2
Для частиц с единичной массой силу можно отождествить с ускорением. Таким образом, мы видим, что при W ф k поле сил явля-
2
ется центральным с потенциалом, пропорциональным r , т. е. каждая частица движется под действием центробежной силы и силы притяжения или отталкивания, пропорциональной расстоянию до центра. Если W > k, то центр выступает как точка притяжения, поэтому траектории замкнуты и точки находятся в ограниченной области. Если же k > W, то силы переходят в отталкивающие и точки удаляются на бесконечность. При W = k точки движутся по инерции со скоростями, определяемыми равенствами (13). На языке сил факт постоянства секториальной скорости движения частиц по траекториям является хорошо известным следствием центральности поля сил.
Теперь перейдем к вопросу о форме, которую необходимо выбрать для модели тела, подверженного приливному растяжению.
Если скорость растяжения велика, то имеют место решения (25) или (26). В соответствии с ними размеры тела с любой начальной формой с течением времени будут неограниченно расти. В этих случаях начальная форма тела большого значения не имеет. Указанные решения, по-видимому, можно использовать для исследования распада спутников или планет в поле приливного растяжения. Экспериментально же в лаборатории эту ситуацию воспроизвести, наверное, невозможно, поэтому для разработки экспериментальной методики режимы течения (25), (26) интереса не представляют.
