Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. О связи приливных деформаций с аффинными преобразованиями сплошной среды
Если приливные деформации создаются одним небесным телом, то их можно охарактеризовать следующим образом: тело растягивается вдоль одного фиксированного направления (именно так выбрана система координат) и одновременно сжимается вдоль ортогональных направлений. В общем случае тело относительно указанных направлений непрерывно поворачивается, т. е. испытывает сложное нагружение с непрерывным поворотом осей тензоров деформаций и напряжений. Данный процесс обладает одной замечательной особенностью. Если отвлечься от ряда деталей, связанных с неоднородностью тела, движением полюсов и неравномерностью скорости вращения, то можно принять, что процесс деформирования небесного тела носит стационарный характер. При этом внешняя форма тела остается неизменной. Иными словами, если смотреть на тело из космоса без разрешения на материальные точки его поверхности (т. е. фиксируя только форму его поверхности), то можно констатировать постоянство внешней формы. Поскольку внешняя форма тела отличается от сферической, вращение тела в данных условиях приводит к его циклическим деформациям. В первом приближении можно принять, что распределение деформаций в однородном теле также является однородным. Справедливость данного предположения будет видна из дальнейших построений. Следующие приближения, конечно, предполагают учет неоднородности деформаций как для однородного тела, так и для тела с неоднородным строением (в частности, с жестким внутренним ядром).
В данном параграфе рассмотрим только первое приближение. Итак, пусть тело испытывает однородную деформацию растяжения вдоль фиксированного направления и сжатие вдоль ортогональных направлений.
Напомним, что деформацию называют однородной, если ее характеристики (компоненты тензора деформаций) не зависят от пространственных координат, т. е. являются одинаковыми для всех элементарных объемов тела. Однородной деформации отвечает линейное поле перемещений.
В математике вводится более широкое понятие, чем деформация области, а именно — отображение одной области на другую. Результат деформирования можно рассматривать как частный вид отображения некоторой области из ее исходного состояния в область, соответствующую ее конечному состоянию. В этом смысле понятие однородной деформации равносильно понятию аффинного отображения одной области на другую. Применительно к жидкостям или сложным реологическим средам чаще говорят не о деформировании, а о течениях той или иной среды. Поэтому понятия «однородная деформация» (или «течение»), «аффинное преобразование, аффинная деформация» — это разные названия одних и тех же процессов (точнее, процессов с одной и той же кинематикой).
Различные частные виды аффинных деформаций встречаются во многих областях механики. Они появляются при изучении целого ряда разнообразных проблем. История их исследования насчитывает много десятков лет и связана с именами Дирихле, Дедекинда, Рима-на, Пуанкаре, Ламба, Жуковского и др. [79, 142, 248-250].
Результаты общей теории аффинных преобразований хорошо известны и приводятся во многих учебниках по геометрии [251, 252]. Так, в общей теории доказывается, что при любых аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые, круги — в эллипсы, а сферы — в эллипсоиды. Кроме того, аффинные преобразования сохраняют свойства параллельности прямых и плоскостей. Общие свойства аффинных преобразований исследованы, по-видимому, самым исчерпывающим образом.
Однако если такие преобразования рассматривать с точки зрения механики, то обнаруживается ряд новых результатов, имеющих конкретный практический смысл. Здесь становятся важными не только сами по себе те или иные течения, но и их интерпретация, а также формулировка цели исследования и постановка самой задачи. В работах [3-5, 21] рассматривалась следующая постановка задачи: разработать экспериментальную методику исследования определяющих уравнений сложных сред. Известно, что идеальными для такой цели являются эксперименты, реализующие аффинную деформацию. Поэтому задача свелась к тому, чтобы дать полную классификацию типов аффинных деформаций именно с точки зрения возможностей для их реализации, а затем выбрать из них такие, которые можно было бы практически реализовать. (Этот вопрос рассмотрен в гл. 5.)
Некоторые типы таких деформаций можно связать с приливными волнами. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
4.1. Приливное деформирование
как суперпозиция однородных растяжений и сжатий
Обратимся вначале к рис. 2.1 (см. с. 33). Как отмечалось, под действием приливных сил тело вытягивается в направлении к возмущающей массе и сжимается в ортогональных направлениях. При этом тело непрерывно поворачивается относительно данных направлений. Именно эти черты реального процесса будем считать основными и именно их сохраним при экспериментальном моделировании. Нас будут интересовать стационарные процессы, т. е. процессы, которые могут продолжаться неограниченно долго во времени, поэтому среду будем предполагать несжимаемой. Точнее, сама по себе среда может быть любой — как сжимаемой, так и несжимаемой, но условия нагружения должны быть такими, чтобы изменения объема отсутствовали, т. е. дивергенция скорости должна равняться нулю. Несжимаемость в условиях плоской деформации означает, что растяжение в одном направлении должно равняться такому же сжатию в ортогональном направлении. Поэтому в качестве первого шага предположим, что тело испытывает аффинное растяжение в одном направлении и соответствующее сжатие в ортогональном направлении. Теперь о повороте. Взаимоотношения поворотов и деформаций в механике сплошной среды носят нетривиальный, а в ряде случаев и довольно запутанный характер. Рассмотрим этот вопрос подробнее, опираясь на предельно ясные исходные посылки.
