Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
(6)
х j = aj + Duj, х 2 = a2 + Du2.
(7)
P0 + WDt, поэтому в правой части (6) координаты (aj, a2) надо заменить на координаты (7) и угол P0 — на угол P0 + WDt. Таким обра-
ёх 2
v j = —— = k(cos2W tх j - sin2W tх 2),
dt
Течение (8) обладает рядом интересных свойств. Во-первых, для него, как и следовало ожидать, отсутствует изменение объема и вращение
av', av2
е = — + — ° 0, ax 1 ax2
1Г av'.
2 [ax i
av2 ax 2
(9)
а максимальная скорость сдвига постоянна
av1 ax 1
av1 av2 '
— + — ax 1 ax2
= 2k.
При этом результатом нагружения является только поворот главных осей тензора скоростей деформаций
tg2a =
av1 av2
— + — ax2 ax1
av1 ax 1
av2 ax 2
7- = -tgW t.
(10)
Теперь можно отвлечься от механического смысла системы (8) и перейти к ее решению. Сделаем формально следующую замену неизвестных функций x J (t), x2 (t) на новые функции x 1(t), x2(t):
x 1 = cosW tx J - sinWtx2, x 2 = sin W tx J + cosWtx 2.
(11)
Смысл этой замены очевиден. Это переход к координатам, связанным с направлением растяжения тела. Теперь можно считать, что эти координаты вращаются относительно исходных непрерывно и с постоянной угловой скоростью.
Дифференцируя равенства (11), получим
dx 1 dx 1 dx 1
-----= cosW t---------- sinW t---------- Wx 2,
dt dt dt
dx 2 dx 1 dx 2
—— = sinW t—- + cosW t—— + Wx i. dt dt dt
(12)
Подставим (8) в (12) и снова воспользуемся (11). В результате придем к следующей системе уравнений:
dx 1 dt
= kx i - Wx 2
dx 2 dt
= Wx 1 - kx
2
(13)
+
Итак, мы пришли к полю скоростей (13). Оно представляет собой наложение двух полей. Первое поле — это двухосное растяжение со скоростью k
ёх1 ёх2
—— = кх 1, —— = -кх 2. (14)
ёг 1 ёг 2 v
Второе поле соответствует вращению тела как жесткому целому с постоянной угловой скоростью (-W) (по часовой стрелке при W > 0):
ёх 1 ёх 2
—1 = ^х 2, —2 = W х 1. (15)
2 1 v
Один из принципов механики сплошной среды утверждает, что если на деформируемое тело наложить жесткое вращение, то на распределениях напряжений, деформаций и их скоростей это никак сказываться не должно, т. е. это не должно влиять ни на одну из объективных характеристик процесса. Вопрос о реализации этого принципа при тех или иных конкретных построениях иногда бывает нетривиальным. В этом мы убедились на примере рассмотренной выше задачи (одной из простейших этого типа).
Действительно, поле скоростей (14) описывает аффинное растяжение и сжатие среды вдоль направлений 0х 1, 0х 2. Мы аддитивно добавляем к этому полю компоненты скорости (15), соответствующие жесткому вращению тела. В результате мы получаем качественно новое течение. Ниже будет показано, что оно совершенно отличается от жесткого поворота тела, испытывающего двухосное растяжения.
Механический смысл полученного результата ясен. Именно равенства (13) описывают тот процесс, который мы конструировали с самого начала, т. е. сложное нагружение тела в условиях, когда направления растяжения-сжатия все время меняют свою ориентацию относительно самого тела.
Для сравнения теперь посмотрим, как выглядели бы уравнения, если бы мы действительно на двухосное растяжение наложили жесткое вращение тела. Это легко сделать. Возьмем уравнения (14) и осуществим в них замену переменных (3). Для этого продифференцируем (3), рассматривая угол P как функцию времени P = - W t. Затем воспользуемся условиями (14). В результате придем к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
ёх 1
----= k(cos2W t • х J - sin2W tх 2) - W • х 2,
Л 1 (16)
ёх 2
= -k(sin2W t • х j + cos2W tх j) + W • х j.
Система (16) отличается от (8) только наличием последних слагаемых. Эти слагаемые как раз и описывают жесткий поворот тела.
Таким образом, можно сделать следующий общий вывод. Если к полю скоростей в координатах, связанных с направлением растяжения тела, добавить компоненты скорости, соответствующие жесткому вращению тела, то это приведет к уравнениям, описывающим сложное нагружение тела. (Причем этот процесс существенно отличается от жесткого поворота тела, подверженного двухосному растяжению.) Ситуация будет аналогичной и в более общем случае, когда растяжение аффинным уже не является. Это будет показано ниже.
Перейдем теперь к исследованию системы (13). Построение ее общих решений никаких трудностей не представляет. Пусть в начальный момент времени t0 = 0 некоторая материальная точка А имела координаты
