Приливные волны и направленный перенос масс земли - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019126-6
Скачать (прямая ссылка):
2
2
Рис. 4.9.
новится одинаковой. Именно это обстоятельство и обеспечивает однородность деформаций в течении (37). В другой системе координат процесс деформирования имеет вид, показанный на рис. 4.9.
3. Вращение вокруг оси 0л1 Очевидно, что волокно 0A1 можно перевести в положение 0A 4, вращая его не только в плоскости 0х 1 х 2, но и по конической поверхности вокруг оси 0х х. В этом случае квадранты 2 и 3 станут для него недоступными, но основной результат — чередование деформаций растяжения и сжатия — будет достигнут, поэтому можно ожидать, что и здесь суперпозиция течений Куэтта также приведет к финитному течению.
Теперь формальные построения. Выделим некоторую область между пластинами х 2 = ±H. В промежутке времени от 0 до At реализуем течение Куэтта (32). В результате каждая материальная частица получит смещения (33). Зафиксируем новые положения частиц, удалим устройство нагружения и за время от At до 2At повернем тело вокруг оси 0х 1 на угол WA t. После этого снова введем устройство нагружения х2 = ±H и дадим смещения (33) за время от 2A t до 3A t и т. д.
Просуммируем смещения произвольной материальной частицы с исходными координатами (х0, х2, х0) и перейдем к пределу At ® 0. В итоге получим следующую систему дифференциальных уравнений: йх1 йх 2 йх 2
”¦ =~йТ = Ух2' V2 =IT = _Пх3, ’3 = Пх2' (40)
Общее решение системы имеет вид:
,-0 >
ух2 ух 3
х 1 =— sinWt + — cosWt +
х 0 + уха.
х 1 + W
V
х 2 = -х °sin W t + х 20cos W t, (41)
x 3 = x °°sin W t + x °cos W t.
Полученное течение является финитным. Нетрудно показать, что
x 2(t) + x 2(t) = (42)
= (x0 )2 + (x0 )2 = const,
x3(t) = ““[xl(t) - x0]+ x0.
Первое условие означает, что материальная частица все время остается на круговой цилиндрической поверхности с осью Ox 1.
Второе условие показывает, что траектория целиком лежит в плоскости, ортогональной координатной плоскости x 2 = 0 и составляющей с основанием цилиндра угол, равный arctgg/W. Таким образом, траектория совпадает с сечением цилиндра плоскостью и, следовательно, представляет собой эллипс (рис. 4.10). Полуоси эллипса (см. рис. 4.10), отнесенные к радиусу цилиндра R = -J(x2 )2 + (x 0 )2, равны 1 и л/W2 + g2 /W. Центр
эллипса лежит на оси цилиндра. Если из центра к материальной частице провести радиус-вектор, то нетрудно показать, что закон движения частицы по эллиптической орбите будет кеплеровским: за равное время радиус-вектор ометает одинаковые площади с постоянной секторной скоростью.
Таким образом, полученное сдвиговое течение реализуется в прямом круговом цилиндре, является однородным и пространственным. При этом кеплеровский закон обращения приводит к тому, что проекции точек на основание цилиндра движутся по окружностям с постоянной угловой скоростью. Это обстоятельство можно использовать для конструктивной реализации кеплеровского закона движения. Естественно, что имеет место и предельный переход к исходному плоскопараллельному течению Куэтта (при W = 0).
4.3. Приливные деформации как результат вращения тела в условиях неизменности его внешней формы
Вернемся к рис. 2.1 (см. с. 33). Мы видим, что небесное тело в направлении приливной силы вытягивается и одновременно вращается. Если ситуация является стационарной, то вращение тела про-
исходит в условиях, когда его внешняя форма остается неизменной. Именно этот факт можно взять за основу для построения первого приближения решения задачи о приливном деформировании. Данный факт можно также использовать при разработке методики экспериментального моделирования.
Допустим, что в первом приближении тело принимает форму эллипсоида. Коль скоро речь идет об использовании аффинной деформации, то происхождение эллипсоида можно представить себе таким образом. В некоторый начальный момент тело полностью изолировано и имеет форму шара. Затем шар подвергается аффинной деформации. (Эту деформацию можно назвать изначальной.) В результате шар преобразуется в эллипсоид. Эллипсоид — это реальное существующее тело, а шар — это мысленный прообраз тела.
Параметры изначальной деформации позволяют определить однозначное соответствие между точками шара и эллипсоида. Теперь начнем вращать шар вокруг его центра по произвольной программе. Ясно, что поверхность шара при любых поворотах (в том числе и нестационарных) всегда будет переходить сама в себя. Иными словами, внешняя форма шара всегда остается неизменной. Этим же свойством будет обладать и образ шара — эллипсоид. Эллипсоид будет вращаться и при этом деформироваться так, что в результате его поверхность будет переходить сама в себя. Располагая данными об изначальной деформации и параметрах вращения шара, нетрудно описать кинематику деформирования эллипсоида.
Несколько слов об изначальной аффинной деформации. Конечно, теоретически возможен случай, когда некоторое тело формируется как изолированный шар, который затем захватывается возмущающей массой и начинается вращаться вокруг этой массы, испытывая приливные деформации. Но это маловероятная картина. В типичной ситуации тело сразу формируется в гравитационном поле возмущающей массы. В таком случае изначальной деформации не было и представление о ней — это только прием, позволяющий построить кинематически возможное (аффинное) деформирование эллипсоида.
