Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
0
Рис. 6.
частот с частотой обмена, определенной из поведения схемы в переходном режиме.
В качестве упражнения вы можете вычислить ток /2 для синусоидально возбуждаемой схемы, показанной на рис. 5. Покажите, что существуют два максимума тока, приходящихся на частоты нормальных мод колебаний. Как подействует включение небольшого сопротивления последовательно с С12? Какое действие окажет это на переходный сигнал? На периодический режим? Что бы вы сделали для подавления второй моды колебаний? Попробуйте осуществить это подавление.
Работа 2.6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Механическая или электрическая структура с многократно повторяющимся основным элементом обладает рядом интересных физических свойств. Во-первых, возмущение, введенное с одного
/ пЧ /7 п+1 N
Рис. 1.
конца такой структуры, будет распространяться по ней без отражения. Во-вторых, имеется максимальная (критическая) частота для распространения синусоидальной волны по структуре. В этой работе мы исследуем передачу и отражение импульсов периодической структурой, а в Р.2.7 рассмотрим поведение периодических
130
структур, возбуждаемых синусоидальной силой или напряжением.
Простой пример периодической структуры показан на рис. 1, где мы имеем линию, состоящую из масс М, соединенных пружинами, имеющими коэффициент упругости к. Ударив левую массу / (рис. 1), мы положим начало импульсу смещения, продвигающемуся вдоль линии. Когда импульс достигнет конца линии, он отразится в обратном направлении и, достигнув входа, отразится снова, и т. д. Мы увидим далее, что импульс можно полностью поглотить при помощи подходящего демпфирования концевых пружин. С этой
Рис. 2. Рис. 3.
целью величина крайних масс 1 и N сделана вдвое меньше остальных. Заметьте также, что, жестко соединив оба конца линии, мы получим кольцевую структуру.
Как описать распространение импульса по линии? Начнем с записи системы N уравнений движения для N масс на линии:
-М^^Нг^^ (1)
М ~Ш в ~к ~гп-г) + к (*„+!-г„), (2)
Уравнения (1) и (3) описывают движение первой и последней массы М/2. Уравнение (2) — общее уравнение для любой массы на линии. Теперь представим, что у нас очень длинная линия, так что мы можем пренебречь массами на концах. Для начала покажем, что равномерное распространение волны по линии является возможным решением уравнений движения. Представим себе импульс смещения, движущийся вправо, как показано на рис. 2.
Для предполагаемого решения можно написать
гя-1(0 = М' + Л'). (4)
5* 131
Чтобы понять, при каких условиях удовлетворяются уравнения (4) и (5), мы должны разложить гп(?) в ряд Тейлора вблизи произвольного момента времени I (рис. 3):
+ т2г>г»('>Д'' + "- (6)
Изменяя знак Д/, мы имеем также
*„( * -ДО = д* +1 %ч (О д*а-
-|^гЛ0Д^+--. (7) и при подстановке уравнений (4) и (5) в уравнение (2) получим М ^ гп (0 = к [гя (* + ДО + гп (* - ДО - 2*„ (0] - (8)
Подставляя затем (6) и (7) в уравнение (8), получаем
м^2„(0-^*п(0Д*2- (9)
Из (9) видно, что (4) и (5) действительно являются решением, если
М = УЩ. (10)
Если бы мы произвели разложение г„(Н-Д0 до четвертого порядка по Ы, то получили бы поправочный член в уравнении (9). Поправка незначительна при условии, что длительность импульса велика
Рис. 4.
по сравнению с Д/. В этом случае импульс будет равномерно передвигаться вдоль линии, не изменяя своей формы. Конечно, импульс, движущийся влево (Д?<0), также является возможным]решением.
Теперь рассмотрим отражение импульса от конца линии. Если крайние массы демпфированы, то вместо уравнения (3) можно написать
1" М ? 2^= — к (г^г^—у-р ги. (И)
т
Мы хотим определить, с какой амплитудой импульс отражается от конца линии. Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 4.
Пусть в момент времени ?—At масса N—1 имеет максимальное отклонение, равное единице. Максимум отклонения достигает конечной массы N в момент времени /. Импульс отражается, снова достигая максимума для массы N—1 в момент Исходя из
рис. 4, можно написать соотношение между 2ЛГ_1 и
^N-1 (О = 4" 2л (г + А0 + 4" —АО-
(12)
Используя разложение уравнений (6) и (7) в ряд Тейлора до членов второго порядка, получаем
(0=г» М+^ ъг* <*> ы+Чгтг* ® А*г- <13)
Подставляя в уравнении (11), получаем
1 ..(Р и г и ! + в . и 1 —В й
Мы удовлетворим уравнению (14) выбором
Включение членов порядка (А*)3 привело бы лишь к незначительному изменению этих формул. Заметьте, что для частного случая,
п
Рис. 5.
П+1
N
когда постоянная затухания у = ?Д? = УМк, получаем В—0 и отраженного импульса нет. Это означает, что вся энергия импульса поглощается при затухании. Если нет затухания (у=0), А=2 и В—\. Импульс отражается с единичной амплитудой, а смещение крайней массы вдвое превосходит смещение других масс на линии. При у-+<х>, что соответствует закрепленной на конце линии, получаем В=—1, т. е. инвертированный импульс, и Л—0, что означает неподвижность крайней массы.
Интересно рассмотреть электрический аналог этой механической задачи. Такие электрические структуры используются для постояв-
133
ной задержки сигнала и называются линиями задержки. На рис. 5 показана периодическая электрическая структура. Предполагается, что индуктивная связь между элементами отсутствует.
