Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Портис А. -> "Физическая лаборатория" -> 40

Физическая лаборатория - Портис А.

Портис А. Физическая лаборатория. Под редакцией Русакова Л.А. — М.: Наука, 1972. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): fizlab1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 116 >> Следующая

126
где частота g>+ = )fgl равна частоте одиночного осциллятора. Мы видим, что если наша переменная является суммой смещений маятников 1 и 2, то амплитуда изменения этой переменной постоянна. Решение уравнения (10) мы можем записать в следующем виде:
(0Л—O2) = (d]0—О20) cos a-t, (12)
где частота <а~ немного больше частоты одиночного
осциллятора. Так же, как и сумма смещений, разность смещений меняется с постоянной амплитудой. Если мы сложим равенства (11) и (12), получим
fli=H(t}io + t>M) COS <O+H-&(0io—*so) COSfcW. (13)
Если вычтем равенство (12) из (11), получим
02= Vz (#10+О2о) cos (о+1— У% (f>10—O20) cos (o-1. (14)
Заметьте, что если оба маятника имеют вначале равные смещения frio^fl^o. они будут колебаться с постоянной амплитудой и частотой <й+ =Yg[l- Если при ?=0 имеются равные и противоположные амплитуды ¦&ю=—^ао, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но со слегка повышенной частотой
<i>- = Vg/l^2&k/M. (15)
Эти два вида движения называются нормальными модами колебани системы связанных осцилляторов. Нормальная мода колебаний — это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой частицы остается неизменной. Если мы сместим только один из маятников, то результирующим движением явится комбинация двух нормальных мод движения. Например, если Ого—0, мы получаем
Oi— JU'&jo^OS ?0+ t -\- cos (Й- f), (16)
0*=J4flio(coso>+f — cos a)-/). (17) Используя тригонометрические тождества
cos Л+cosВ=2 cos ЩА+В) cos %(А—В), (18)
cos Л—cos ?=2 sin У2 (А +В) sin У% {А—В), (19)
мы можем записать уравнения (16) и (17) в виде
O^Oioicos %(«+— w-)flcos й(<в++ю-)*, (20)
§2=flio[sin У2(о)+— a)-)flsin y*(u++a-)L (21)
Поведение ¦&! и Ог показано на рис. 2. Обратите внимание, что при /=0 амплитуда 02 равна нулю. Но амплитуда 02 увеличивается, а амплитуда di падает до тех пор, пока в момент времени, определяемый из соотношения ^(й)+—ео-)?=я/2, амплитуда ¦&! не станет равной нулю, а амплитуда д2 достигнет максимума. Такое поведение можно понять, апеллируя к нормальным модам колебаний. В случае
127
четной моды нормальных колебаний, обозначенной знаком +, маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как и для одиночного осциллятора. В случае нечетной моды нормальных колебаний (знак —) пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если смещен только один из маятников, мы имеем две нормальные моды колебаний,
находящиеся в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного колебания, относительная фаза изменяется. Через некоторое время два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, амплитуда т>х упадет до нуля, в то время как амплитуда т>3 достигнет максимума, и т. д.
Мы можем рассмотреть ситуацию, показанную на рис. 2, с энергетической точки зрения. При 2=0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2. Время, необходимое для перехода энергии из 1 в 2 и обратно, можно получить из уравнения %(оэ+—а>_)?обм=я. Мы можем определить частоту
»обм = 77~ = "+-м~. (22)
*обм
с которой осцилляторы обмениваются энергией.
Мы можем изучить аналогичную электрическую систему с помощью схемы, приве-
Рис. 2.
?5мгя
Г©1
ГР
Рис. 3.
Рис. 4.
денной на рис. 3. Здесь мы имеем пару контуров ?У?С, слабо связанных через общую емкость Сха. Упрощенный вариант этой схемы показан на рис. 4, где мы обозначили знаки зарядов и положи-
128
тельное направление тока. Проверьте знаки зарядов, показанные на рисунке. Мы можем записать два контурных уравнения
йі с ' си й!2
О,
Подставляя І^сК^гШ и 12—<10.ъ1(И, получаем
_н--
&ї1
ь и/2
с1а
(23) (24)
(25) (26)
Заметьте, что уравнения (25) и (26) имеют точно такую же форму, что и уравнения (7) и (8). Следовательно, должны существовать две моды нормальных колебаний с частотами
(0~
(27) (28)
Для четной моды колебаний токи текут в одинаковом направлении и на емкости С12 нет заряда. Это аналогично случаю с нерастянутой пружиной в механической задаче, при этом частота остается такой же, как для несвязан-
ной?//
0
50
ГР
ных осцилляторов. (Мы развязываем контуры, закорачивая емкость Сі8.) В случае нечетного вида колебаний на емкости имеется заряд и частота возрастает.
Будем наблюдать ток /а (см. рис. 4) при С12=500 пф. Чтобы применить к контурам рассмотренную здесь теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту. Для балансировки контуров регулируйте переменный конденсатор (рис. 3) до тех пор, пока разностная частота не будет сведена к минимуму.
Измерьте чаетоту обмена на осциллографе и сравните ваш результат с вычисленной величиной
*об^<*+ — «~ — 7^(0' (29)
Рис. 5.
Мы предполагаем, что С12 велика по сравнению с С (слабая связь). Попробуйте изменить величину емкости связи Сц. Предлагаемые
5 А. Портис
1?9
варианты величин —200 пфи 0,001 мкф. Другой способ изучения нормальных колебаний пары связанных осцилляторов показан на рис. 5. Здесь мы заменили генератор прямоугольных импульсов синусоидальным генератором. Исследуйте амплитуду на выходе как функцию частоты. Вы должны-найти два резонансных максимума: один при со+ и другой при со-. Измерьте эти две частоты для нескольких значений емкости связи С19. Для четной моды нормальных колебаний токи находятся в фазе (рис. 6, с), для нечетной — в противофазе (рис. 6, б). Сравните наблюдаемые разности
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 116 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed