Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
Т | ит 1 Фи _Qn-l
~Ж ^ п ~С~--с~
(19)
Мы предполагаем, что комплексный заряд выражается в виде
З^З/^-"^*, (20)
где аир —действительные величины. Токи /„ будут иметь вид
1п = 10е!ш*е-п{а+1'&. (21)
Соотношение между зарядом и током может быть получено из уравнения непрерывности
<М2п
й1
(22)
НО
Производя подстановку из уравнения (21) и разрешая уравнение относительно /„, получаем
/ ш С
(23)
Подставляя в (19), получим
е*«+Ф + е-(«+/р} = 2 + iaRC—co2LC. (24)
Разделяя действительную и мнимую части, приходим к выражениям
2 cha cos р = 2—co2LC, (25)
2shasinp = G>#C. (26)
При частоте ниже критической и при условии, что потери невелики, справедливо
1 q CD
sin-д-р ^
где
(oKp=2/KLC sinp = 2sini-pcoslp=^l/l-(^-
)2
Комбинируя (26) и (28) и полагая, что а мало, получаем
a ^ sh a
#/2Я0
(27)
(28)
(29)
У1 -(«/Икр)2
Выражение (29) остается справедливым, пока 7? мало по сравнению с характеристическим импедансом линии #0 = }/?/С и частота не слишком близка к критической.
Рассмотрим теперь вопрос о фазовой и групповой скоростях распространения сигнала по линии и начнем со времени задержки сигнала, распространяющегося по линии. Мы различаем два вида задержки по времени. Первый — кажущаяся задержка синусоидального сигнала, которая равна отставанию фазы Р, деленному на круговую частоту со:
Агф = 1 = ^--^#-й. (30)
Ф СО С0кр81П7аР 4 '
Второй, и в действительности более важный, вид задержки по времени — это задержка группы колебаний, показанной на рис. 8. Для
импульса, более длительного по сравнению с 1Л?С, задержка по времени на секцию равна просто А/ = ]/ТС. Но как обстоит дело
4
t
Рис. 8.
141
с группой? Хотя группа может иметь длинную огибающую, частота колебаний со может и не быть низкой по сравнению с сокр. Самый простой путь вычисления групповой задержки — это деление
энергии, накопленной в каждой секции, на скорость, с которой энергия течет по линии.
Обращаясь к рис. 7, можно энергию, накопленную в п-й емкости, выразить уравнением
(31)
где — величина, комплексно сопряженная вели-
чине Qn. Скорость передачи энергии дается выражением
1 Рр fQnfn+l\ .__ 1 п*е-™а to Sin Ре~« m.
Тогда групповая задержка во времени равна
д/ — 1—2g~a cosft+ е-*а ^ г ш~а sin р =
wKp cos VsP '
(33) (34)
где мы делаем предположение, что затухание невелико.
Задержки времени А/ф и Д**г изображены на рис. 9. Рассматривая распространение сигнала в среде, обычно говорят о фазовой и групповой скоростях, а не о временах задержки. Эти скорости определяются соотношениями
0%
уф = д?
Ф
Используя (30) и (34), получаем для периодической линии
,ф=*крД/^, (36)
ъх^~ъ^Ыо.ъ$~$. (37)
На рис. 10 по оси ординат отложена относительная частота со/сокр, по оси абсцисс — [УД/. Заметим, что фазовая скорость при частоте со определяется наклоном хорды, проведенной от начала
142
координат в эту точку, т. е. 1>ф=1? фь а групповая скорость — крутизной кривой в этой точке: иг=т?фа. Групповая скорость определяется наклоном кривой только в том случае, если нет затухания. Более общее выражение должно быть определено с помощью способа, аналогичного способу, использованному при получении уравнения (33).
Работа 2.8. ЛИНИЯ ПЕРЕДАЧИ
Если в линии задержки с сосредоточенными элементами (см. Р.2.6 и Р.2.7) мы стали бы уменьшать емкости и индуктивности, одновременно увеличивая количество секций, в пределе мы получили бы линию, в которой индуктивность и емкость равномерно распределены по линии. В такой непрерывной линии критическая частота юкр=2/]//,С стремится к бесконечности, поскольку Ь и С (каждая) приближаются к нулю. В этом пределе линия больше не вносит дисперсии, и нет необходимости различать фазовую и групповую скорости.
Для распределенной линии мы должны описывать заряд и ток через координату г линии, а не через количество секций п, которое теряет свой смысл. Из уравнения (22) Р.2.6 имеем
(пЧ)М
Рис. 1.
аЩп.
dt2
(1)
При n-^oo Qn можно рассматривать как медленно меняющуюся функцию z, показанную на рис. I.
Если рассматривать Qn как функцию z и t, можно записать
Q„(t)=Q(z, t), (2)
Qm(t)-Qi*. Ъ + Щ^*+±!2?Лм. (3)
QB-i(*)=Q(*. О-
dz 1 2 dt2
dz 1 2 dt2
(4)
где мы выразили фп+1 и с помощью разложения в ряд Тейлора вблизи фп. Подставляя эти выражения в (1), находим
Ь д?0. (г, О М а,Щ (г, /)
M dp
dz2
(5)
При Д/-*0 удобно определить индуктивность на единицу длины А/
L' = ±
(6)
143
и емкость на единицу длины
С
м
(7)
Если мы посылаем волну вдоль линии, она распространяется со скоростью
и =
1
1
Используя (8), можно переписать уравнение (5)
(8)
(9)
Уравнение (9) называется волновым уравнением. Волновое сопротивление линии равно
(10)
Таким образом, волновое сопротивление непрерывной линии может быть выражено через отношение индуктивности на единицу длины
к емкости на единицу длины. ММ Какой окажется в непре-
рывном пределе линия с мас-Ы сами и пружинами, рассмат-
ривавшаяся в Р.2.6 и Р.2.7? Составьте волновое уравнение для такой линии.
