Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
Электрическая линия может заканчиваться индуктивностью %>Ь или емкостью УгС. Контурные уравнения электрической линии имеют вид
С С
Ь (И с
О,
QN--i
С ' ' С '
¦о,
0.
(16)
(17) (18) (19)
Скорости изменения заряда равны
л* — '1»
Исключая токи из уравнений (16) — (22), получаем
^=^1-2^),
ь
(20) (21) (22)
(23) (24) (25)
I
Обратите внимание на аналогию между уравнениями (24) и (2). Можно ожидать, что мы получим прежние результаты, заменив М на Ь, г на С1 и к на 1/С. Уравнения (23) и (25) отличаются от
уравнений (1) и (3), так как электрическая линия заканчивается емкостью, а не индуктивностью. Исходя из аналогии с равенством (10), можно ожидать, что задержка на каждую секцию линии будет равна
Д/ = ]/ТС. (26)
Как можно согласовать электрическую линию с нагрузкой на ее конце? Пусть электрическая линия заканчивается сопротивлением 7?н, включенным параллельно с конечным конденсатором, как показано на рис. 6. Теперь мы должны дополнить (22) добавочным
Рис. 6.
134
членом, что приводит к уравнению вида
(27)
где добавленный член — это ток, протекающий через /?н. Производя подстановку в уравнение (19), получаем вместо уравнения (25)
2
(28)
Как отражается импульс от конца линии? По аналогии с уравнением (12) имеем
<Злг-1(0 = -д- 0*(' + Л') + - ДО- (29)
Разлагая в ряд Тейлора и подставляя в уравнение (28), получаем
QN____
2С А
2 ь (ІЇ2
1 ,+всг„+4^л^+
2С /I
2С 2А
Аі2
Приравнивая коэффициенты, получаем
(30)
(31)
(32)
При сопротивлении нагрузки
импульс полностью поглощается. Это сопротивление называется характеристическим сопротивлением (или, более обычно, волновым сопротивлением) линии. Если бы мы рассмотрели линию, имеющую
-О
Рис. 7.
на концах индуктивности, строго аналогичную механической линии, то получили бы ту же самую величину волнового сопротивления. (Заметьте, что для бесконечного ^н мы получаем Д=1 для линии, заканчивающейся емкостями, и А ~2 для линии, заканчивающейся индуктивностями. Напряжения, однако, ведут себя точно таким же образом, как смещения.)
135
Для изучения передачи и отражения импульсов на периодической электрической линии соберите схему, показанную на рис. 7. Входное сопротивление должно быть приблизительно равно волновому сопротивлению линии, чтобы избежать отражений от входа. Вы сможете наблюдать входной импульс, импульс на конце линии и отраженный импульс, используя схему, показанную на рис. 7.
Измерьте полную задержку N/±.1. Зная количество секций, определите время задержки каждой секции Д?. Регулируйте /?н до тех пор, пока линия не будет согласована. Снимите /?н и измерьте его величину омметром, чтобы найти /?0- Вычислите Ь и С. Постройте график зависимости отношения амплитуд импульсов на конце и в начале линии как функции ^Ио- Постройте также аналогичный график для отраженного импульса. Сравните с уравнением (31). Почему амплитуды импульса на конце линии и отраженного импульса меньше, чем можно было ожидать? ВП.2.7 будет показано, что ослабление на каждую секцию приблизительно определяется величиной
е-*/2*., (33)
где — сопротивление на одну секцию. Исходя из наблюдаемого ослабления для N секций, вычислите /?. Измерьте сопротивление N индуктивностей, включенных последовательно. Определите сопротивление каждой секции этим способом и сравните с величиной, вычисленной из формулы для ослабления.
Работа 2.7. ДИСПЕРСИЯ
Мы видели, что периодическая структура передает возмущение без отражения или изменения формы, пока возмущение является медленным по сравнению с задержкой в каждой секции. Что произойдет, когда возмущение не будет таким постепенным? Ответ на этот вопрос можно получить, исследуя реакцию периодической структуры на синусоидальную возмущающую силу. Мы обнаружим, что существует максимальная частота, которая пропускается* линией. При более высоких частотах будет иметь место чисто экспоненциальное затухание сигнала. Для частот, приближающихся к этой критической частоте, скорость, с которой распространяется по линии смещение (фазовая скорость) и скорость, с которой распространяется по линии энергия (групповая скорость), могут быть совершенно различны. В частности, групповая скорость падает до нуля при критической частоте, в то время как фазовая скорость не обращается в нуль. Таким образом, можно ожидать, что короткий импульс будет видоизменен этой линией. Такую линию мы называем линией с дисперсией.
Рассмотрим идеальную линию без потерь, имеющую форму, показанную на рис. 1. В П.2.7 будут рассмотрены свойства реальной линии, имеющей потери. Допустим, что линия бесконечна или согласована на обоих концах, так что нам надо принимать во вни-
136
мание только одну секцию. Из уравнения (4) Р.2.6 мы имеем для произвольной секции линии
Md^? = ~-k{2zn-zn_1-zn+l). (1)
Возбуждая конец синусоидальным смещением
Z1=2oCOSCO^, (2)
мы можем ожидать, что возмущение будет распространяться по линии таким образом, что смещение n-й массы выразится равенством
гп = г0 cos (at—яр). (3)
Подставив (3) в (1), получим
—jMcu22ocos (at—nfi)=—kz0{2 cos <W—п$)—cos [to/— (n—l)p]—
