Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
M(a-xy + Nxx{ 1 +^ + 1с-^-+ее-) ,
и нужно найти, при каких значениях хин оно будет минимумом.
Будем считать сначала, что х уже имеет точное значение и для определения
значения v дифференцирование дает:
(с - е) dv 2(cc - ce + ee)dv_a мпн " 2(сс - се+ее) .
м 3 3 (е - с) '
если подставить это значение, то полное действие
, \-> I N (с + е)2 х х
М(а - xY 4- . . v -г v ' 1 4 (сс - се + ее)
должно еще быть минимумом по отношению к х, что дает:
^ л* / \ , , Nbb х п
-2М(а -х) + -щ^гсе + ее) - 0
или
,4 М а (с с -се + ее)
Х ~' 4 М (с с - се + ее) + Nbb
1) Если бы шар ударил стержень посередине таким образом, что с = е и Ь -
2с, мы имели бы обычный случай, а именно: v = CV = оо или
стержень не повернулся бы, а х = было бы общей скоростью
обоих тел.
2) Если бы шар ударил в конец А таким образом, что с = 0 и е = b,
... 2. " 4Ма
ТО V - AV - И х - + N .
Можно было бы представить себе случай, где пришлось бы определять три или
более неизвестных, чтобы превратить полное действие в минимум, и
результат всегда будет в согласии с тем, что мы находили обычным
способом.
У. ГАМИЛЬТОН
ОТРЫВОК ИЗ ОПУБЛИКОВАННОЙ В 1940 Г. РУКОПИСИ "ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ,
РАССМАТРИВАЕМАЯ С ПОМОЩЬЮ МОЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ" [24S]
dV
Характеристическая функция эллиптического движения и уравнение-^- = t
Из предшествующих исследований мне известно, что функция У1} определяемая
уравнениями (510), (512), (514) [24в], действительно тождественно
удовлетворяет уравнению в частных производных (523) f247 ]. Но чтобы
установить заново это важное положение и чтобы в то же время подготовить
переход к другим исследованиям, введем следующие сокращенные обозначения
:
ecos-1^^ =f, (528)
е' cos = С'. (529)
Тогда
V1 = Ya[u-u0+2C sin •) , (530)
V[ = ft {и' - u'0 + 2 С sin ) , (531)
= 1 - С cos , (532)
X = 2 a sin 1; (533)
следовательно, рассматривая а как постоянную величину, имеем:
-y=-=(l +?cos-^=^)<5(u-u0) + 2<5C sini=^, (534)
^l^ = fsini^"-<J(u-u0)-2<J?cos-H^S-, (535)
= (536)
f f (sin - **±4.C0S ^ {(cos -^)2 - ?2} , (537)
(1 _ П) M sin (u _ Uo) _ C sin =
= d(u- Uo) {(cos u~--0-f - :2j, (538)
760
У. ГАМИЛЬТОН
( и - Ц0\2 j^cos 2 )
________________________
(1 -?2) sin и ~ а° Va
= (1 + С cos^U"J {2 -J cos - jif2-j + Mix jsin iL-3 j2 _
^ (cos-" + :) - %?$ (cosi^ + :) . (539)
S(r + ro)cosu-~u°
это дает:
If- . u - uB
I>a sin -=--
cos
2 (1 - t2) Sx
4-л (r+ro)}=
V'l - ?2 <5* - sin --2~^ <5 (r + г о)
Vfl (cos - 2 U° -
Мы знаем
*Vx
s(r + rB) dx 6Vl
dV
и . Теперь
dr d (r + r0) ' <5 ? <5 r '
<5^ _ Й <5 x
также
rdd dx r d 6 '
dx _ r - rB cos (9 - 0O) &r X
dx r0 sin (0 - 0O)
rdd
(?Г+Ш
x
dx V
1
(540)
(541)
(542)
(543)
(544)
(545)
мы должны, следовательно, иметь :
. и -иву r0 cos (0 - 0О) - г
2 j • а
откуда, используя (512), получим :
= (4i-l)(cos-^-f)!,(546)
_rj"
fl2
cos^
- С
cos
или
(Г + г0у - х2 . 4 А2
(547)
(548)
и это последнее условие удовлетворяется при помощи (532), (533). (См. 10-
й лист серий об эллиптическом движении, начатых в августе 1833.)
Стоит отметить, что, используя (532) и (533), мы имеем не только
, но также и
(coS^f=(2-^-r-i
(549)
ОТРЫВОК из ОПУБЛИКОВАННОЙ В 1940 Г. РУКОПИСИ "ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ" 761
Следовательно,
г* + (cos и~-и°]2 = 2 - Г"- + i^±^22 -, (550)
и, следовательно,
1 _ с. + (sin JLzHl]' = itf. - 'Lkrtr*. ¦ (551)
так что
( "Vi , ДУ1 f = 4(r + r"Tz) _ 1 =________________4__________1
I <5* ty- + ГВ) J (г + r0)2 - X2 a r + r0± X a ' ' '
и, следовательно,
T + W+Ы ~ r + r:+ v - т ' (553>
4 1
r + ra + Z а '
4 1
г + г0 - х а '
1 -К *' Iе 1
Г+ г0 + х
4" --Лч = ± I/ - ' . (554)
<5 (r + r0) I/ г Л. r. - V п V r
ТГ = ± Г Г-пЬт - ТГ ± 1/ 7+- -Л-. ("5)
<Tbj=±F '• <556>
Когда мы берем верхний знак в этих двух последних уравнениях, то имеем :
(557)
выражение, которое я широко использовал в предыдущих исследованиях. В
общем случае можно положить :
к>= J±F^T7rS^- <558>
-х
Если мы хотим рассматривать а не как постоянную величину, то нужно только
заменить в (540)
6V1 на ][а й(-у= | , ^ на а(5(-|] и д (г г0) на ад (-,
и мы получим :
= <5М>
*) [Подкоренные выражения, очевидно, такие же, как в формуле (555). Прим.
ред.]
762
У. ГАМИЛЬТОН
Это также следует из того, что Vx является однородной функцией степени
1j2 от а, г + г0, %. Мы имеем, следовательно,
( Ъ ¦ и - "о 1
... , 2 sin--------------------------------
ЛХх. = -1- 4- С Sin ^5-_____________2-______\-?*-1 - С cos u~"^U
да Уа\ 2 +CSln 2 rn. в - шв t V 4 4 2 Jf
1 f U - U" * . Ц -
Уа
". . u -u") 1 fu - u" u + a. . и - ц"|
f sm т] -| = -ут | 2 ~ е cos s,n -Г j =
= 2yfl- {" - "О - с (Sin u - sin Ho)} = ^ 2(J /mK - (560)
где T - эллиптическое время. Это последнее выражение показывает, что хотя
мы должны в настоящем методе рассматривать полуоси а, а' как функции
координат, их вариации тем не менее исчезают из вариации части mV1 + m'V\
функции V, поэтому
<3V, . . , <5У.' . , Т ( тда , т'да' Л "
т ~дГ да + т ~ъ?- Ьа = т (;(П;т)^ + (Г+туа, J = 0, (561)
