Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 360

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 354 355 356 357 358 359 < 360 > 361 362 363 364 365 366 .. 461 >> Следующая

согласно (300) f248]. Мы можем, следовательно, при дифференцировании mV1
+ mVi рассматривать а, а' как постоянные, и, следовательно, можно
дифференцировать ^только по координатам т, а ^толькопо координатамт'.
Мы также видим, что если предположить т' = 0 и таким образом
свести
V к mV1 и, следовательно, к функции от г + г0, %, а, т, которая может
рас-
сматриваться как функция г + r0, %, h, т, то мы имеем :
8V <5^! да тТ
dh ~m да dh ~ 2 (1 + m) а*
ЙгГ = Т = '- Р62)
Это будет чрезвычайно любопытная теорема, если мы сможем найти,
что в общем случае = t.
Таким образом, мы сможем завершить наше решение задачи о трех телах или о
любой другой системе при помощи функции действия V без использования
какого-либо интегрирования, после того как эта функция однажды
определена.
В то же время, не считая т или т' исчезающе малыми, мы видим, что
dv
часть , которая не является малой, а именно
<5У, , , dVt <5У, <3<з . , dV[ да'
т-д1Г + т~дГ' или т ~да~ ~8h т ~даГ ~дГ '
т Т аг2 да . m'Т а'-2 да'
НЛИ 2(1 + ш) dh + 2(1 + m') dh '
в действительности равна Т на основании (300).
(8 января 1834 г.) Тремя страницами далее я даю общее доказательство
6V
справедливости этой теоремы / = При помощи этой теоремы интегрирование
дифференциальных уравнений движения любой системы тел (включая задачу
вращения) сводится к нахождению вида функции V, дифференцированию ее по
начальным координатам и Л и определению конечных координат как функций
полученных таким образом частных производных и начальных координат.
Полученные таким путем выражения для конечных координат не должны
содержать Л.
У. ГАМИЛЬТОН ИСЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ [249]
Метод основных соотношений является развитием того способа анализа,
который был ранее приложен сэром Уильямом Гамильтоном к исследованию
оптики и динамики; его существо и дух могут быть поняты из следующего
краткого наброска.
Пусть х1( х2, ..., хп - любое число п функций одной независимой
переменной s, с которой они связаны одним заданным дифференциальным
уравнением первого порядка, но не первой степени,
О = /(s,x1, xn,ds,dxlt ..., dxn), (1)
а также (п - 1) другими дифференциальными уравнениями второго порядка, к
которым, как вспомогательным к данному уравнению (1), приводит вычисление
вариаций и которые могут быть записаны так :
/' (*i) - df' (dx,) /' (x") - df (dxn)
f(dxi) f(dx") ' ' >
Пусть также av ..., an будут n начальными значениями n функций хг, .. .,
x" и пусть а!ъ ... ,a'n будут n начальными значениями их п производных
функций или дифференциальных коэффициентов
, dxj , dxn
1 > J п cs 1
соответствующих любому данному начальному значению а независимой
переменной s. Если мы сможем проинтегрировать систему п дифференциальных
уравнений (1) и (2), то получим п выражений для п функций xv ...,хп вида
*i = 9i (s, а, аг,.. ., ап, а[,..
^2 = 92 (5> А" (r)11 • • м &\у • ¦ ') ^п) У
Хп = <Рп (S. а, "1- • йю ct-i,. ч &гг)
и с помощью начальных уравнений, аналогичных (1), можем затем исключить
а'ь . .., а'п и вывести соотношение вида
О = у (s, *!,..хп, а, аг,..., ап), (4)
то есть соотношение между начальными и конечными значениями п + 1
связанных переменных s, х1( ..., хп. Обратно, автор установил, что если
известно одно соотношение (4), то из него возможно вывести выражения для
п искомых интегралов (3) системы п дифференциальных уравнений (1) и (2)
или для п искомых соотношений между s, х1( ..., хп и а, а1г ..., ап, аъ
..., а'п,
764
У. ГАМИЛЬТОН
каким бы большим ни было число п. Таким образом, все эти многочисленные
соотношения (3) неявно заключены в одном соотношении (4), которое в силу
этого автор предложил называть основным интегральным соотношением или,
короче, основным соотношением задачи.
Автор установил справедливость следующих уравнений :
Г №) _ Г (4*]) _ V (dxn) /5ч
у>' (s) V (*i) • • • Y (хп) ' ' ;
которые могут быть приведены к виду
Qi <pi (а, s, Xj,..., хп, Xij ..., хп), )
/ • (6)
Qn - срп (a, S, Xj, . . ., Хп, Хп, , . ., Х") , j
являясь, очевидно, преобразованием п искомых интегралов (3). Что касается
способа, которым без предварительного выполнения интегрирований (3) можно
найти основное соотношение (4) (или вводимую этим соотношением главную
функцию), когда оно разрешается относительно первоначальной независимой
переменной s
s = y(x1, ..., x",fl,fllf ..., ап), (7)
то автор отмечает, что может быть определено уравнение первого порядка в
частных производных, которому эта главная функция <р должна
удовлетворять, а также и начальное условие, выбранное'так, чтобы
устранить неопределенность, которая иначе остается.
Действительно, уравнения (5) могут быть написаны таким образом:
(5 (ds) ds 8 (ds) Ss
~8(dx1) ~ Sx, ' '' 8(dxn) Sx" '
где
8(ds) _ r №) " = (9)
(8)
d (dxi) ~ f' (ds) Sxi
и так как, в силу (1), существует известное соотношение вида
8 (ds) 8 (ds)
О = р (s х х (ds) у (ds) | /jо)
(S, X1; . . ., Xn, s ^ j , (1U)
то должно иметь место и следующее соотношение :
О = f(s, хъ ..., хп, , .. .,-g^r-) , (И)
Предыдущая << 1 .. 354 355 356 357 358 359 < 360 > 361 362 363 364 365 366 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed