Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
то есть главная функция <р должна удовлетворять следующему уравнению
первого порядка в частных производных :
О = F(<p, хи ..., хп, q/ (хх), ..., ср' (х")), (12)
а также следующему начальному условию :
О = lim / {а, аъ ...,ап,х- а, хг - аъ ..., хп - ап). (13)
Таковы наиболее существенные основы нового метода анализа, который сэр
У. Гамильтон предложил назвать методом основных соотношений,
простейшим типом которого, вероятно, является формула
S(ds) _ 8s (..s
8 (dx) дх ' ''
интерпретируемая подобно уравнениям (8).
ИСЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ СООТНОШЕНИЙ
765
Простейшим примером, который может показать значение и приложение этих
принципов, является, по-видимому, тот, для которого дифференциальные
уравнения таковы :
0 = (¦?¦)'+Ш -1 (|,)
d (dx,) _ d (dx2)
(2')
dxl dx2
Обычное интегрирование дает здесь
= аг + a'(s - а); х2 = а2 + а'2 (s - а) (3')
и, следовательно, приводит к следующему соотношению (в данном
случае
основному):
О = (хг - агУ + (х2 - а2)2 - (s - а)2, (4')
или __________
s = а+ У(х1 - аг)2 + (х2 - а2)2, (7')
ибо благодаря (И) имеем а* + а22 = 1. Это позволяет нам проверить
соотно-
шения (8) или (14), для которых получаем :
<5s х, - а, dxj <5 (ds)
Sx, s - a ds <5 (dx,)
и подобным же образом
ds S (ds)
(5x2 8 (dx2)
Обратно, если в этом примере задано следующее соотношение, выведенное
"(П о-ШГ+О'-1' w
то для определения вида (7') главной функции s может быть использовано
(согласно принципам нового метода) следующее дифференциальное уравнение
первого порядка в частных производных:
""Ш+ЫгГ-1 <11-)
в сочетании с начальным условием
0=й +Рй-'-f! -1; (,3'>
Следовательно, основываясь на тех же новых принципах, можно вывести
обычные интегралы (3') в виде
= *i + ai (а - s); а2 = х2 + а2 (а - s). (6')
В таких простых случаях, как в настоящем примере, использование нового
метода не дает преимуществ, однако в большом числе вопросов, включая все
вопросы математической оптики и математической динамики (по крайней мере,
в том свете, в каком рассматривает эти науки автор настоящего сообщения),
и в общем случае при решении всех задач, где приходится интегрировать
системы обыкновенных дифференциальных уравнений (как
766
У. ГАМИЛЬТОН
второго, так и более высокого порядка), к которым приводит вариационное
исчисление, метод основных соотношений сразу определяет систему конечных
выражений для интегралов предложенных уравнений, что крайне редко может
быть достигнуто ранее применявшимися методами.
Например, представляется невозможным любым другим методом выразить
строго, в конечных выражениях, интегралы дифференциальных уравнений
движения системы из многих точек, притягивающих или отталкивающих друг
друга, однако это можно легко выполнить путем частного применения
изложенных здесь общих принципов*). Автор надеется представить в
дальнейшем эти принципы в еще более общем виде.
*) См. Philosophical Transactions за 1834 и 1835 гг., а также Report of
British Association. [См. стр. 175-288 настоящей книги. Прим. ред.]
У. ГАМИЛЬТОН
ПИСЬМО ДЖ. ГЕРШЕЛЮ t250 ]
Приступая теперь к динамике, думаю, что вы не нуждаетесь в напоминании,
что Зп дифференциальных уравнений движения второго порядка между Зп
прямоугольными координатами xv yv zlt ..., хп, уп, zn и временем t для
системы п притягивающихся или отталкивающихся масс щ, ..., тп,
рассматриваемых как свободные точки, могут быть заключены в следующую
формулу :
2' т (х дх + у ду -j- г bz) - Ь 2 ттг / (г), (1)
где х, у, z являются составляющими ускорения какой-нибудь массы т, а /(г)
-¦ определенной функцией взаимного расстояния г между двумя массами
какой-либо пары ттъ так что производная функция /' (г) выражает закон
отталкивания, будучи отрицательной в случае притяжения. Вы также не
нуждаетесь в сообщении о том, какими безуспешными оказались попытки
математиков точно интегрировать систему Зп уравнений второго порядка, так
изящно выраженную вышеуказанной формулой Лагранжа. Для полной
законченности подобного интегрирования было необходимо, как Вы знаете,
найти Зп соотношений между временем, Зп переменными величинами и 6п
постоянными; но аналитики, насколько мне известно, не нашли и даже не
выразили пока ни одного подобного соотношения. Судите сами, выражает ли
их все точно следующий метод с помощью одной основной функции и сводитли,
таким образом, проблему динамики к поискам одного центрального
соотношения ... Таким образом, все свелось к поискам формы функции S ; не
такой функции, которая формулировала бы, а которая разрешала бы.
проблему, и не только служила бы, подобно лагранжевой пертурбационной
функции R, для того, чтобы изящно выразить известные дифференциальные
уравнения движения, но дала бы посредством своих собственных частных
производных доселе неизвестные первые и конечные интегралы этих важных
уравнений ...
Таковы наиболее существенные черты моего нового метода в динамике. Он не
представился мне сразу в такой простой форме. Я употребил, как вы найдете
