Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Вашего правила, выражение
J Vdv + J V' dv' + j V" dv" + j V"' dv"
будет минимумом, где его дифференциал следует предположить равным нулю,
чтобы найти форму жидкой массы, которая притягивается к этим точкам Л,
B,C,D и т. д.; и в этом случае я считаю, что не ошибаюсь насчет
содержания Вашей статьи. Одновременно это самое выражение и есть точно
то, которое входит в мою формулу, когда я хочу определить фигуру гибкой
нити, все элементы Мт которой притягиваются теми же силами V, V', V", V"'
и т. д. к неподвижным точкам Л, B,C,D и т. д. Вся разница состоит только
в том, что в случае, который рассматриваете Вы, выражение
j Vdv + j V dv' + j V" dv" + J V" dv'" и т. д.
должно быть минимумом, в то время как для гибкой нити, элементом которой
является Mm = ds, формула
j' ds(j V dv + | V' dv' + | V" dv" 4- j' V" dv"' и т. д.)
есть минимум. Итак, учитывая, что эти два случая значительно отличаются
друг от друга и фигура гибкой нити очень далека от формы, которую должна
принять жидкая масса, хотя бы подверженная тем же силам, можно сделать
вывод, что не удивительно, что обе формулы не в точности одинаковы.
Однако в них можно сразу заметить такое большое соответствие, что не
может быть никакого сомнения, что и та и другая формулы основаны на одних
и тех же принципах. Это есть та восхитительная гармония, о которой я имел
честь говорить Вам, что она поразила меня. И я надеюсь, что после этих
разъяснений Вы не встретите больше затруднений и согласитесь с теми
выражениями, которые я употреблял в моем сочинении, чтобы отметить
совершенное соответствие моих формул с Вашей теорией. Тем не менее, если
Вы считаете уместным, я включу в свое сочинение только что изложенные
соображения для того, чтобы все были убеждены в этом соответствии,
которое мне кажется настолько совершенным, насколько это возможно для
таких различных случаев. Я прошу Вас оказать мне честь Вашими указаниями
по этому поводу.
Должен также отметить, что я считаю, что формулы минимума, которые я.дал,
являются единственными, ведущими к кривым, которые я ищу. Хотя я мог бы
дать еще другие формулы, значение которых тоже было бы наименьшим для
этих кривых, однако уравнения, которые дают эти формулы в соответствии с
моим методом, являются слишком общими и содержат также кривые, которые не
имеют ничего общего с моей темой, в то время как мои формулы не содержат
ничего, что не соответствовало бы проблемам, которые я имею в виду.
ВЫДЕРЖКИ ИЗ ПИСЕМ К МОПЕРТЮИ
753
9 мая 1748 г.
Я льщу себя надеждой, что Вы не будете больше сомневаться ни в
справедливости моей формулы минимума
j ds (J К dv + J V' dv' + J V" dv" + J V" dv"' + и т. д.)
для формы совершенно гибкой нити, ни в соответствии этой формулы с
выражением j" V dv •+- J V dv' -f- J V" dv" -}- J V" dv"' + ит. д.,
которое Вы находите для формы жидкой массы, подверженной тем же силам; и
я не сомневаюсь, что те же принципы, которые привели Вас к Вашей формуле,
.которую я не могу точно вспомнить, приводят и к моей при условии учета
природы случая, который я трактую. Я только что обнаружил почти подобную
формулу для совершенно отличного случая. Если подвижная точка М (рис. 4)
притягивается к закрепленным точкам С, С', С", С"' силами V, V', V", V'",
которые являются некоторыми функциями расстояний, СМ = v, С'М = v', С"М =
v", С"'М = v'", и если эта точка свободно описывает кривую MN, то я
говорю, что для этой кривой значение выражения J' dt (J Vdv + J V'dv' + j
V" dv") будет минимумом, где dt обозначает время, затрачиваемое подвижной
точкой на прохождение пространства Мт. Это выражение находится в
соответствии с тем, которое я давал ранее, J uds, где через и я обозначал
скорость тела в М и ds - элемент пространства Мт, ибо раз ds=u dt, это
выражение переходит в J ии dt, а по законам механики значение ии
выражается через J Vdv -ф J V'dv' +
-f J V''dv". Я представляю себе, что, внимательно рассматривая эти случаи
и разные способы, при помощи которых это же выражение J V dv + J V' dv' -
f j V" dv" входит в каждый из них, будет не так трудно найти принципы
метафизики, которые приводят к этим формулам ; и хотя мы не будем еще в
состоянии достичь этой цели, по крайней мере можно будет, учитывая
великолепную гармонию этих формул, сделать заключение, что они должны
необходимо вытекать из одних и тех же принципов; на мой взгляд ни одна из
этих формул не должна ни в какой мере нарушать справедливость других.
4 июня 1748 г.
Меня продолжает волновать один вопрос, связанный с моим сочинением о
минимумах, имеющих место в кривых, образованных либо совершенно гибкими,
либо упругими нитями, подвергающимися действию каких-либо сил. Я позволил
себе высказать Вам все соображения, убеждающие меня в том, что мои
формулы не противоречат данной Вами теории; однако я думаю, что последняя
болезнь помешала Вам взвесить мои соображения. Осмелюсь ли умолять Вас,
Милостивый государь, соблаговолить еще раз удостоить вниманием письма,
