Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
которые я имел тогда смелость адресовать Вам в Потсдам. Я убежден в том,
что Вы не найдете больше ни малейшего противоречия между Вашими
принципами и моим формулами и что Вы признаете в них большое сходство, о
котором я говорил. Правда, тогда я еще не видел, каким образом мои
формулы могут быть выведены из Ваших принципов, несмотря на то, что я
очень хорошо понял применение, которое Вы им дали для нахождения формы
жидкой массы, подвергнутой действию
Рис. 4.
48 Вариационные принципы механики
754
Л. ЭЙЛЕР
каких-либо сил. Но сейчас мне представляется, что те рассуждения,
которыми Вы пользовались, должны привести к моим формулам, о которых я
должен прежде всего сказать, что они рассматривают случай, совершенно
отличный от того, который рассматривали Вы. Вот с этого я хотел бы начать
свое рассуждение.
Пусть даны центры сил, расстояния которых от данной точки равны v, v',
v", v'" и т. д., а их движущие силы в этой точке V, V', V", V"' есть
какие-то функции расстояний. Тогда при рассмотрении жидкой массы,
подвергнутой действию этих сил, количество действия всех этих сил должно
быть минимумом или его дифференциал равен нулю. Итак, Вы очень
обоснованно показываете, что это количество действия выражается J Vdv + J
V'dv' + 4- Т V" dv" + и т. д. Теперь, рассматривая гибкую нить,
подвергнутую действию этих же сил, для определения ее формы будет уже
недостаточно учитывать только количество действия сил, которое окажется,
как прежде, равным § Vdv + § V'dv' + J V"dv" + и т. д. (потому что
очевидно, что гибкая нить должна принять форму, значительно отличающуюся
от той, которая подходит для жидкой массы), но это количество действия
должно быть приложено к элементам нити, на которые это действие
распространяется. Пусть ds - элемент нити, а действие сил, приложенных к
нему, будет равно ds (jV dv + f V' dv' 4- JV" dv" + и т. д.). Теперь мне
кажется вполне естественным сказать, что в этом случае сумма всех
действий сил, приложенных к элементам нити, должна быть минимумом, т. е.
для формы нити формула J ds ([ Vdv 4- J V' dv' + J V" dv" + ...) будет
минимумом.
Более того, при рассмотрении движения брошенного тела, притягиваемого
теми же силами, чтобы найти кривую, которую оно опишет, мне кажется также
естественным утверждать, что для этой кривой сумма всех количеств
действия сил, отнесенных к элементам времени, должна быть минимумом.
Количество же действия этих сил в соответствии с Вашими принципами равно
J V dv + j V dv' + J V" dv" 4- и т. д.; следовательно, обозначая через dt
элемент времени в этих кривых, описанных брошенным телом, выражение f dt
(J V dv 4- J V dv' 4- J V" dv" + ...) должно быть минимумом...
После этих многочисленных разъяснений мне остается только еще раз
покорнейше просить Вас, Милостивый государь, прочитать их с некоторым
вниманием, так как я уверен, что Вы вынесете более лестное суждение о
моем сочинении, которое имело несчастье показаться Вам противоречащим
Вашим принципам. Мне чрезвычайно важно, чтобы Вы переменили отношение к
этому предмету, и поэтому я надеюсь на Вашу доброту, так чтобы мои
повторные оправдания оказались ненужными.
8 июня 1748 г.
Милостивый государь,
Я Вам бесконечно обязан за объяснение, которое Вы соблаговолили мне дать
о Вашем впечатлении по поводу количества действия и формул, значение
которых есть максимум или минимум в кривых, произведенных силами. До
этого объяснения я лишь очень смутно понимал, в чем могла состоять
разница между Вдшими идеями и выдвинутыми на эти темы мною, что
значительно усиливало мое беспокойство. Но теперь, получив достаточные
разъяснения, я откровенно признаюсь, что ошибочно давал название
количества действия многим выражениям, сильно отличающимся друг от друга,
не понимая, как я сумею обосновать это наименование. Исключив зто, я
теперь уверен более чем когда-либо, что формулы максимумов и минимумов,
которые я нашел a posteriori, не наносят ни малейшего ущерба
справедливости принципов, на которых Вы основали свои рассуждения. Чтобы
яснее объяснить это, я рассмотрю несколько центров сил С, С', С" и т.д.
(рис. 5),
выдержки из писем к мопертюи 755
расстояния которых от некой точки М будут: СМ = v, С'М = г/, С"М = v" и
т. д., а силы V, V', V" и т. д., притягивающие зту точку М к центрам, -
некие функции расстояний v, г/, v" и т. д. Теперь нужно найти форму
жидкой массы, притягиваемой этими силами, на поверхности которой пусть
лежит точка М; я нахожу в соответствии с Вашими принципами это уравнение:
J Vdv + J V'dv' -f J V'dv" + и т. д. = const, или, поскольку дифференциал
этого количества равен нулю, можно будет сказать, что выражение J Vdv 4-
| V'dv' + J V"dv" + и т. д. есть максимум или минимум. Именно зта формула
выражает по Вашему мнению, Милостивый государь, количество действия сил
V, V', V" и т. д., пока они действуют на точку М. Теперь, рассматривая
другой случай, где точка М будет элементом гибкой нити, подвешенной за
