Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
М" (точнее говоря, расстояние М" от этой точки будет бесконечно малым
высшего порядка), то точки М' и М" будут сопряженными в том случае, если
точка, которая описывает Т', проходит, кроме того, через М' и бесконечно
близко к М" в моменты Г и t" соответственно.
Согласно принципу Гамильтона условие (А) всегда удовлетворено;
действительно,
Н = Н0 Нг ti2,
и Н2 есть квадратичная форма, однородная относительно х\.
Во всех задачах динамики это - определенная и положительная квадратичная
форма.
Если мы заменим х\ через х- + Нг обратится в
а Н2 обратится в Кроме того,
яф + ^-Ц-),
(1Н,
Яа(х}) + Я>(8|-) + 24
у (1Н0 Q
dxi
следовательно,
Н(Х[ + ?,) = Н0 + Нг + Н2 + 24 d(Hn + "- ±HA + ,
откуда, наконец, получим
Н( х\ + е) - 2 е, -g- = Н + Н2 (?,).
Первый член соответствует функции
J (x'i + ?/)- 2' ei
JL
d?
а так как квадратичная форма Н2 (е,) определенно положительная, то мы
видим, что это выражение является минимумом для е, = 0, т. е. что условие
(А) удовлетворено.
Перейдем теперь к принципу Мопертюи в абсолютном движении. Интеграл,
который требуется исследовать, имеет вид J dr, причем dr2 есть
определенно положительная квадратичная форма дифференциалов dx;.
Примем на время хг за независимую переменную; тогда интеграл получит вид
J йхь где есть многочлен второй степениР, не однородный
* 1 dX'
(но существенно положительный) относительно .
Итак, пусть
dr Л [ pdxt_
fifxj I dx.
Вопрос в том, является ли
М-ЖГ + ")
508
А. ПУАНКАРЕ
минимумом для е,- = 0, или, другими словами, будет ли вторая производная
радикала
М-§г+8'') -
взятая по t, положительной.
dx'
Но каковы бы ни были -г1- и eh мы получим
uXj
Р(-§Г+ ?it)=at* + 2bt + c,
где а, b и с не зависят от t; вторая производная радикала тогда равна
ас - Ь2 ~{at2 + 2Ы + с)3 2 '
Так как многочлен Р существенно положительный, то это выражение тоже
положительно и условие (А) всегда удовлетворено.
Переходим к принципу Мопертюи в относительном движении. Нам тогда
придется иметь дело с интегралом
| [ds YHo+I + co'(?dn-y dt)], где, принимая f за независимую переменную,
имеем
| dt [K(tf0 + /2)(1+"H + со' - г))].
Необходимо теперь определить, является ли вторая производная по rf от
K(H0 + /2)(/ + V2T + о, (й/ - V) положительной. Эта производная равна
Yn0 + h
(I + t]'2)3'2 '
Условие (А) опять удовлетворено.
Итак, условие (А) само собой удовлетворяется во всех тех случаях, которые
нам придется исследовать.
Фокусы по Мопертюи
Кинетические фокусы несколько различны в зависимости от того,
рассматриваем ли мы действие Гамильтона или действие по Мопертюи. Чтобы
лучше уяснить себе это, рассмотрим случай двух степеней свободы, и пусть
хну -- две переменные, определяющие положение системы, которые мы можем
рассматривать как координаты в плоскости.
Пусть
* = /х(0" У = /3 (О - уравнения траектории Т, которая будет плоской
кривой. Положим
х = /1 (0 + У = /2 (0 + Ч
и, отбросив квадраты f и rj, составим вариационные уравнения. Так как они
линейные и 4-го порядка, то мы получим:
t = fli ?2 + "3 ?з + й4 f4, v = г)г + a2r)2 + а3 rj з + а4 %,
где а, - постоянные интегрирования, a f, и "?,• - функции t.
ОТРЫВОК из ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" 5Q9
Уравнение из п.341
А (Г, Г) = О
примет тогда вид
а ?1 ?з
Vl Vl Vs v'i
?I ?2 ?S ?1
v'l vl vl vl
(1)
Именно это уравнение определяет гамильтоновы фокусы.
Смысл его следующий : точка х, у, которая описывает траекторию Т, и точка
х -f- i, у -f- rj, которая описывает бесконечно близкую траекторию Т' в
два различных момента, а именно в моменты f и t", оказываются отделенными
друг от друга расстоянием, бесконечно малым высшего порядка.
Но не этим условиям должны удовлетворять фокусы по Мопертюи. Две точки
траектории Т, а именно обе точки М' и М", которые соответствуют моментам
t' и t", должны находиться на расстоянии, бесконечно малом высшего
порядка от траектории Т'. В этом случае отнюдь не требуется, чтобы точка,
движущаяся по траектории Г', проходила точно в момент t", например,
бесконечно близко к М". Но зато постоянная живых сил должна иметь одно и
то же значение как для Т, так и для Т'. Для гамильтоновых фокусов это
последнее условие не обязательно.
Одним из решений уравнений в вариациях будет:
Так определяются обе функции f4 и rjv
С другой стороны, разность между постоянной живых сил для траектории Т и
постоянной живых сил для траектории Т' бесконечно мала; это, очевидно,
линейная функция четырех бесконечно малых постоянных alt
Мы можем, не ограничивая общности, предположить, что эта разность точно
равна а4.
Тогда для того, чтобы значение постоянной живых сил для Г и Г' было
одинаково, необходимым условием является, чтобы а4 = О или же
Так как f и rj должны быть равны нулю при t = t', то имеем уравнения а4
fl + а2 f' + а3 Ц = 0, a1nl + а2п' + а3г)'3 = 0.
С другой стороны, значение х + f, у + V Для t = t" + е должно быть тем же
(до бесконечно малых, близких к высшему порядку малости), что и значение
