Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
когда начальные и конечные значения переменных х, рассматриваются как
заданные и даже в том случае, если начальное и конечное значения времени
t0 и tj не рассматриваются как заданные.
Если заменить F через F - Л, то J обращается в
J + h(tj- /0), (б)
а так как уравнения (1) не изменяются, то это выражение (б) есть опять-
таки минимум.
отрывок из третьего тома "новых методов небесной механики" 4gg
Но если заменить F через F - h, постоянная живых сил, которая равнялась
Л, обращается в нуль; следовательно, выражение (б) есть минимум, даже
если tx и t0 не рассматриваются как заданные.
Действие J есть минимум, каковы бы ни были переменные х, и у,; оно a
fortiori будет минимум, если мы наложим на него новое условие,
совместимое с уравнениями (1), например условие удовлетворять первой
группе уравнений (1), т. е.
Определенное таким образом действие есть минимум. Это - гамильтонова
форма принципа наименьшего действия. Предположим теперь, что
Пусть, далее, переменные х, и у, не рассматриваются более как
независимые; наложим на них условие
Это ограничение, совместимое с уравнениями (1), не будет препятствовать
тому, чтобы действие J оказалось минимумом. Тогда
и, так как h равно нулю, то этот интеграл есть минимум, даже если tx и t0
не рассматриваются как заданные.
Наложим теперь условия
dxi _ dF dt ~ dyi '
откуда найдем у, в функции :
Подставим вместо у,- их значения (7) в выражение для J и в уравнение
dxt _ jiF_ dt ~ dyi '
откуда
где положено
Л = О,
F = О.
dxn ' ' dt
)
или же
у, = 9=>,• (xj, х2, .
dx1 dx2 dx2 dx2 dx± dxn dx1
' n dt ' dx2 dt ' dx2 dt ' ' ' ' ' dx2 dt
F - 0.
Из этого уравнения исключим в функции хк и . Затем подставим это
¦I
dx
значение в выражения (7) и в J; теперь этот последний интеграл примет вид
где Ф есть функция хк и производных--.
32*
500
А. ПУАНКАРЕ
337.
338.
Этот интеграл, взятый таким образом в независимой от времени форме, снова
оказывается минимумом. В данном случае - это принцип наименьшего действия
в форме Мопертюи. Если бы Л не было равно нулю, то следовало бы только
заменить F на F - Л.
Рассмотрим теперь частный случай, имеющий наиболее важное значение.
Полагаем
F = Т - V,
причем Т - однородная функция второй степени переменных у,-, в то время
как V не зависит от этих переменных. Тогда получим
2У,-^ = 2Т, н=т + и.
Согласно принципу Гамильтона интеграл
/(Т + U) dt и
должен быть минимумом.
Посмотрим, что произойдет с принципом Мопертюи; уравнение живых сил имеет
вид
Т - U = h.
Действие по Мопертюи тогда будет:
J (Г -f U + Л) dt.
В уравнениях
dxt _ dF = dT dt ~ dyt dyt
вторые члены - линейные и однородные функции у,; следовательно, Т -
dx
однородная второй степени функция ; заменим в выражении Т произ-dx *
водные через dx,-; получим
т - dT*
1 ~ dt* '
где dr2 будет линейной и однородной функцией п дифференциалов dx,-;
отсюда находим
.. _ dr _ dr
~ ][т ~ У и + а
Действие по Мопертюи тогда примет вид
2$dtVU + h .
Чтобы иметь возможность изучить другие частные случаи, положим для
краткости
г' -
л' dt •
Исключим у, из уравнений
dF
Xi - ~Т~ dyt
так, чтобы принять за новые переменные х, и ху; обозначим обыкновенным d
производные, взятые по х,- и у" и круглым 9 -производные, взятые по х, и
х-.
ОТРЫВОК ИЗ ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" 501
Теперь мы легко найдем хорошо известные соотношения
v __ан Ж --Л F - V у' дН и
у' dx'i ' Эх/ dxi ' " ' dx'i
и увидим, что уравнения (1) эквивалентны уравнениям Лагранжа
d_ дН _ дН dt дх) дXj
Установив это положение, рассмотрим тот случай, когда Н имеет следующий
вид:
Н = Н0 + Нг + Н2,
причем Н0, Нь Н2 - функции однородные, соответственно 0, 1, 2-й степени
переменных хВ этом случае величины
являются функциями линейными, но не однородными относительно х'*
Гамильтоново действие сохраняет тот же вид
Посмотрим, что произойдет с действием по Мопертюи.
Пусть h есть постоянная живых сил; действие по Мопертюи примет вид
J(W + h)dt,
но требуется придать ему вид, независимый от времени.
Для этого положим
И - ^ и И -
2 dt2 1 dt '
Н2 есть не что иное, как живая сила, ad;2 есть выражение этой живой силы
после замены х\ через dx,. A da обозначает выражение, которое получится,
если в Ht заменить х'• через dx, ; значит, это - форма линейная и
однородная относительно дифференциалов dx,.
Если мы примем во внимание уравнение живых сил
Н2 = Н0 + h,
откуда
,, dr
dt = Tr ,
VH9 + h
то действие по Мопертюи примет вид
J [2 dr ][н0 + h + da).
Принцип Мопертюи применим как к тому случаю, с которым мы имеем дело, так
и к случаю абсолютного движения; но имеется существенная разница в
отношении того, что из него следует в каждом из этих случаев.
Во всех задачах, которые нам встретятся, живая сила Т или Н2 -¦
существенно положительные величины; это - квадратичная, определенно
положительная форма. В случае абсолютного движения (п. 337) действие j2dr
УиЦ-h существенно положительно; оно не меняется при перемене пределов.
