Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 227

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 461 >> Следующая

Я0 + Л>0.
Первый член величины, стоящей под знаком J, т. е. член ds ]/Я0 + Л,
существенно положительный; но второй член меняет знак, когда принятое
направление пройденной траектории изменяется на обратное.
Если точка g, ц расположена очень близко к границе области, в которой она
замкнута, если, следовательно, Я0 + /г очень мало, то первый член будет
очень малым и выражение получит знак второго члена.
. Значит,, j" не существенно положительное. В этом можно убедиться также
из уравнения • .
, . J'¦= J + Л Д t0).
Если Л отрицательно, то первый член положительный, а второй -
отрицательный.
ОТРЫВОК из ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" 505
341.
Кинетические фокусы
До сих пор, когда я говорил: такой-то интеграл есть минимум, - я
употреблял сокращенный, но нейравильный способ выражения, который,
впрочем, никого не мог ввести в заблуждение; я хотел сказать: первая
вариация этого интеграла равна нулю; это условие необходимо для получения
минимума, но оно недостаточно.
Теперь разыщем условие, необходимое для того, чтобы изученные нами в
предыдущих разделах интегралы J и J', первые вариации которых были равны
нулю, оказались бы действительно минимумами. Это разыскание связано с
трудным вопросом о вторых вариациях и с красивой теорией кинетических
фокусов.
Напомним основы этих теорий.
Пусть х1} х2, ..., хп - функции t, а х[, х2, . .., х'п - их производные;
и
рассмотрим интеграл J = j f(xh xfidt, первая вариация которого 6J равна
i0
нулю, если принять начальные и конечные значения xt как заданные.
Для того чтобы этот интеграл был минимумом, нужно сначала иметь условие,
необходимое, но недостаточное, которое я назову условием (А). Оно состоит
в том, чтобы выражение
/(*,,*;+ е,.)_ 24-jfj ,
рассматриваемое как функция еь было минимумом.
Условие (А) не является достаточным, кроме того случая, когда границы
интегрирования очень сближены. В остальных случаях необходимо наложить
еще одно условие, которое я назову условием (В). Прежде чем
сформулировать это условие, надо напомнить определение кинетических
фокусов.
Чтобы 8J = 0, необходимо и достаточно, чтобы х, удовлетворяли п
дифференциальным уравнениям второго порядка, которые я назову уравнениями
(С).
Пусть
¦ X, = 99, (О
- решение этих уравнений.
Другое решение, бесконечно близкое к первому, пусть будет
X, = 99, (f) Si ,
составим линейные уравнения в вариациях, которым удовлетворяют и которые
я назову (D).
Общее решение этих уравнений (D) будет вида
к=2п
Ь=2Аи?1и (1 = 1,2, ... ,п),
к=1
где Ак - это 2п постоянных интегрирования, a Sik - это 2п2 функций t,
совершенно определенных и соответствующих 2п частным решениям линейных
уравнений (D).
На этом основании запишем, что все обращаются в нуль для двух заданных
моментов t = t' и t = t"; мы найдем 2п линейных уравнений, из которых
сможем исключить 2п неизвестных Ак.
Таким образом, получим уравнение
А (Г, t") = О,
506
А. ПУАНКАРЕ
где А есть определитель:
р' . Р' . р>
bl.l $1.2 • • • Si-2 п
In.2 • ' р> ¦• Sn.2n
Я. 1 Ц.2 • Р" ¦ • Si.2п
In-i Я. 2 •• Р" ¦ • Sfj.2 п
Здесь S'ik и fit - функции |i7c после замены в них t на f и на Г'
соответственно.
Если моменты f и t" удовлетворяют уравнению А = 0, то мы скажем, что это
два сопряженных момента и что две точки М' и М" пространства п измерений,
которые имеют соответственно координаты
<Pi (О > <Рг (О, ¦¦¦ ,<Рп (О,
МПгЛП, ••• ,мп,
являются двумя сопряженными точками.
Если, кроме того, момент f', сопряженный с моментом f и более поздний из
них, является моментом, наиболее близким к f, то мы скажем, что М" есть
фокус М'.
Теперь мы можем сформулировать условие (В): оно состоит в том, что между
t0 и fj не должно быть никакого момента, сопряженного с t0.
Чтобы J было минимумом, необходимо и достаточно удовлетворить условиям
(А) и (В). Отсюда немедленно вытекает следующее:
Пусть t0, tl7 t2, /3 - четыре момента. Пусть М0, Mv М2, М3 -
соответствующие им точки кривой
*1 = Vl (0> *2 == Ч>2 (0" • • ¦ ) Хп = <Рп (О*
Предположим, что Мг есть фокус М0, а М3 - фокус М2. Если условие (А)
удовлетворено, то мы сможем получить
t0 <t!<t2< t3,
или
to <t2<tt< t3,
или
t% <'' t3 <c t0 <c tl,
но не сможем получить
t0<ti<ti<t1;
и-"
в этом случае интеграл J должен быть минимумом, потому что условие (В)
f"
tir-e
удовлетворено, а интеграл J не будет минимумом, потому что условие (В)
не будет относительно него удовлетворено.
Но это невозможно, потому что функции х,- можно варьировать между t2 и
tj-e, не варьируя их в то же время между t0 и t2.
Легко выясняется геометрический смысл предыдущего.
Кривая пространства п измерений
xi = <Pi(t),
представляющая собой решение уравнений (С), может быть названа
траекторией, которую я обозначаю через Т.
ОТРЫВОК из ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" 5Q7
342.
343.
Кривая
xi - Vi +
будет представлять собой бесконечно близкую траекторию.
Если через точку М' провести одну из этих траекторий Т', бесконечно
близких к Г, и если эта траектория снова пересечет траекторию Т в точке
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed