Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Наоборот, в данном случае действие составляется из двух членов: первый, j
2 dr Ун0 + h , будет всегда положительным и не , меняется при
502
А. ПУАНКАРЕ
перемене пределов; второй же, J da, меняет знак при перемене пределов и
может быть как положительным, так и отрицательным.
Если мы примем во внимание, что в некоторых случаях при обращении первого
члена в нуль второй член в нуль не обращается, то увидим, что действие не
всегда имеет положительный знак; это обстоятельство создаст нам в
дальнейшем большие трудности.
Чтобы показать, как применяются приведенные выше соображения к
относительному движению, рассмотрим сначала абсолютное движение системы;
положим, что
я = т + U
и что положение системы определяется п + 1 переменными xv х2, ..., хп,
со, где хг, х2, ..., хп достаточны для того, чтобы определить
относительное положение различных точек системы, а со определяет
ориентацию системы в пространстве.
Если система изолирована, то U будет зависеть только от xv х2, ..., хп, Т
будет квадратичной формой, однородной относительно х[, х2,..., хп, со',
коэффициенты которой зависят исключительно от х1; х2, ..., хп.
Получим уравнение
где р - постоянная; мы получили интеграл площадей.
Установив это, возьмем гамильтоново действие J в виде
J = dt;
to
тогда, если уравнения движения удовлетворены, то
Действие будет минимумом (или, вернее, его первая вариация будет нулем),
если начальные и конечные значения х, и со рассматриваются как заданные,
т. е. если Sx, = бсо = 0 для t = t0 и для t = tv
Предположим теперь, что мы считаем заданными только начальные и конечные
значения х,, но не со ; тогда получим
8J = [р dcoytz\l = р [^<w]|r|S.
Пусть тогда
Н' = Н - р со'
и
У = J H'dt ;
отсюда очевидно, что
ьу = 0.
Из уравнения = р исключаем со', которое является линейной неоднородной
функцией xj; мы видим также, что Н' есть квадратичная неоднородная
относительно х, функция.
Значит, Н здесь будет иметь вид Н0 + Нг + #2, изученный в п. 338. Таким
образом, интеграл J' будет минимумом даже и тогда, когда начальное и
конечное значения со не рассматриваются как заданные.
ОТРЫВОК ИЗ ТРЕТЬЕГО ТОМА "НОВЫХ МЕТОДОВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ" 503
340.
Заметим, что
J' = J - Р К - "о),
где <у0 и <у1 являются значениями со для t = t0 и для / =
Возьмем теперь систему, отнесенную к подвижным осям и подчиненную силам,
которые зависят только от относительного положения системы по отношению к
подвижным осям. Предположим, кроме того, что оси находятся в равномерном
вращательном движении с постоянной угловой скоростью со'.
, Эта задача сразу же сводится к предыдущей. Нам придется только придать
подвижным осям очень большой момент инерции так, чтобы угловая скорость
оставалась постоянной.
Тогда для абсолютного движения имеем
Н = Т + U = Т, + Т2 + и.
Силовая функция U зависит только от переменных х" которые определяют
положение системы по отношению к подвижным осям; 7\, живая сила системы,
зависит от хг и является квадратичной формой относительно
х'. и со'; Т2, живая сила подвижных осей, равна и момент
инерции I
очень велик.
Тогда
p=*± + Ja,
Н' - Н - рсо' = (7\ + T2 + U)~ -g±-со' -
где
Итак,
Я' = г + U - со' - -!f-1 асо' 2
1(0
Так как I и р очень велики по сравнению с то это уравнение определяет
приближенно
с"' = у ,
а более точно -
Л.' -_____________________
/ I dco
со' = ^-1 dT1
Кроме того,
/со'2 р2 da>'
[оУ_ , 1 (dr, Y
I ^ 21 \dw' )
2 21 Находим таким образом
В правой стороне предпоследний член есть постоянная величина, а последним
можно пренебречь, так как I очень велико.
Так как к Н' можно прибавить какую-либо постоянную, ничего не изменяя в
принципе Гамильтона, то мы, полагая
Я" = Тг + и,
504
А. ПУАНКАРЕ
найдем, что интеграл
j" = j H;'dt
должен быть минимумом (даже и в том случае, когда начальные и конечные
значения ф не даны).
В выражении Я" надо рассматривать, о/ как заданную постоянную; Я" будет
тогда квадратичной неоднородной функцией х\ вида Я0 + Нг + Я2.
Пусть, например, мы имеем материальную точку массы единица, движущуюся в
плоскости, координаты которой относительно подвижных осей обозначаются
через g и ir\. Имеем
гг ((' - О)' Т)У + (гY + со' I)2
11 - 2 '
тогда
Я2 = г- Hi = м , - Wo = -ff + rf) + U.
Интеграл
J = J'(W2 + Я, + H0)dt
to
есть минимум, если будем рассматривать границы t0 и tv а также начальные
и конечные значения g и rj как заданные.
Интеграл живых сил тогда можно записать в виде
Я2 = Я + Л,
а мы видели, что интеграл
J' - J (П2 + Ят Я0 -|- Л) dt = у Л *0)
есть минимум, даже если t0 и ^ не рассматриваются как заданные. Находим
тогда
/ = f (2Я2 + Я,) dt = J [ds /Я0 + Л +w'(?dr/-r/ d|)],
полагая
ds2 = dg2 + drf.
Это - обобщенный принцип Мопертюи.
В задачах, которые нам предстоит рассмотреть, U всегда будет
положительным, а следовательно, J будет существенно положительным.
Но относительно ]' это не всегда так.
Действительно, при Л отрицательном мы должны считать точку I, "7
замкнутой в области, определяемой неравенством
