Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 234

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 228 229 230 231 232 233 < 234 > 235 236 237 238 239 240 .. 461 >> Следующая

такой форме:
№ i("s<">) - - iа."• + 22Н1г- -т^г)<¦
1 L = 1 L = 1 /i = l 4 ^
Следовательно, уравнения (а) п. 181 дают представление о том, как должно
изменяться направление при одном и том же заданном начале, для того чтобы
путь был геодезическим. Именно, каждое отдельное уравнение дает изменение
наклона кривой относительно определенной прямоугольной координаты.
Задача 2. Выразить дифференциальные уравнения геодезического пути
материальной системы в ее обобщенных координатах pQ.
Пусть г координат pQ связаны к уравнениями п. 130
^Pxodpe = 0 (а)
Q= 1
и, следовательно, г вариаций dpQ связаны уравнениями
9 ро
^Pxeddpe + ^ ^-^dpadPe = o. (b)
0=1 * 0=1 сг= 1
Длина бесконечно малого перемещения ds зависит теперь от всех dps, ре..
Следовательно,
г=1 г=1
Затем следует положить
8 ^ ds = § 8ds = 0. (с)
Поступая по правилам вариационного исчисления точно так, как в п. 179, и
обозначая через пх множитель х-го уравнения (Ь), получим г
дифференциальных уравнений вида
522
Г. ГЕРЦ
которые вместе с уравнениями (а) дают г + к дифференциальных уравнений
для г + к функций ре и лх. Эти уравнения, являющиеся необходимыми
условиями для исчезания вариаций, выполняются, следовательно, для всех
положений геодезического пути; таким образом, они содержат решение
поставленной задачи.
184. Примечание 1. Дифференциальные уравнения (d) п. 183 являются также
достаточными условиями для того, чтобы путь был геодезическим. Ибо если
они выполняются, то вариация длины пути (см. п. 180) удовлетворяет
условию
dds . iL
d$ds = 2'
= 1
дре
Если мы допускаем, таким образом, что для каких-нибудь двух положений
пути вариации координат исчезают, то исчезает и вариация интегр.ала между
теми же положениями как пределами, и поэтому для геодезического пути
выполняются желаемые аналитические условия (п. 177). lee. Примечание 2.
Если мы в качестве независимой переменной выберем длину пути, то найдем г
уравнений геодезического пути, получающихся вследствие того, что мы делим
уравнение (d) п. 183 на ds и для ds подставляем его значение, выраженное
через ре и dpe, согласно уравнению (d) п. 57:
Cf = 1 О - 1 X - 1 Г ~ Х=1
<а>
х- 1 а= 1 ГК г
Эти уравнения вместе с к вытекающими из уравнения (а) п. 183 уравнениями
дра
= 1 0== 1 О-1
дают г + к неоднородных линейных уравнений для г + к величин р"е, л'х и
представляют вместе с тем эти величины как однозначные функции ре,
р'е и лх.
18в. Примечание 3. Вводя в качестве независимого переменного длину пути и
имея в виду уравнения п. 92, получим уравнения (а) п. 185 в виде:
~ (1Че COS (5, А,)) -
1 VI V1 Vk' n rr I "Х? ( г dptiQ ^ ^
= 2-2Щ-щгР°Р*-2Р"я*+ 22(-щг-ъг)я*Р<>'
а= 1 т - 1 rv х-1 х= 1 cr= 1 г
т. е. получим уравнения, характеризующие изменение направления геодези-
ческого пути с изменением его длины. А именно, каждое отдельное уравнение
указывает, как изменяется наклон этого пути относительно соответствующей
координаты ре.
"т. Замечание 1. Геодезический путь не может быть определен только лишь
заданием положения и направления одного его элемента, ибо из данного
положения в данном направлении возможно провести бесконечное число
геодезических путей. Если для некоторого положения пути даны ps, рё и к
величин лх, то они по п. 185 однозначно определяют ближайший элемент, и,
следовательно, продолжение пути возможно однозначно определенным образом.
Задание направлений пути в этом заданном положении
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ"
523
188.
189.
190.
дает только величины ps и р'д и, следовательно, не удовлетворяет условиям
геодезического пути, но допускает, если нет налицо особых отношений, /с-
кратную бесконечность геодезических путей.
Замечание 2. Если дифференциальные уравнения рассмотренной системы не
допускают интеграла, то из 2г величин ре и р'е, которые определяют
положение и направление в системе, 2г - к величин могут быть выбраны
произвольно, а именно, г величин ре и г - к величин ре. Эти 2г - к
произвольных величин вместе с к произвольными величинами лх в данном
положении могут рассматриваться как 2г произвольных постоянных, которые
вместе с дифференциальными уравнениями (а) п. 185 определяют
геодезический путь и которые также должны содержаться в интегралах этих
уравнений, ибо по п. 173 можно связать каждое возможное положение системы
с каждым другим через геодезический путь. Именно, если дифференциальные
уравнения системы не допускают конечных соотношений между ре, то каждая
мыслимая система , значений зтих величин является также возможной
системой значений; следовательно, произвольное начальное и конечное
положения системы определются 2г произвольными значениями этих координат.
Замечание 3. Для каждого интеграла дифференциальных уравнений
материальной системы число постоянных, которые определяют геодезический
путь, уменьшается на два.
Именно, если уравнения условий дают I конечных уравнений между pQ, то
можно из г координат ре принять за произвольные лишь г - I, и,
Предыдущая << 1 .. 228 229 230 231 232 233 < 234 > 235 236 237 238 239 240 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed