Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальными уравнениями.
155. Задача 1. Выразить дифференциальные уравнения прямейшего пути
материальной системы в прямоугольных координатах материальной системы.
Возьмем в качестве независимого переменного длину пути. Так как имеются в
виду возможные пути, то 3п величин х' согласно пп. 128 и 100 [178 ]
подчиняются i уравнениям:
2 XLV х' = о.
(а)
v=l
Следовательно, Зп величин х" подчиняются i уравнениям:
2 xLv х; +
(Ь)
которые получаются из (а) посредством дифференцирования.
33*
516
Г. ГЕРЦ
Предполагая (Ь) непротиворечивыми, мы должны так определить х", чтобы они
обращали кривизну с (п. 106) или, что то же самое, |с2в минимум, а
именно, выражение
1 ^ гг\
<с>
** = 1
должно принять минимальное значение.
По правилам дифференциального исчисления поступаем следующим образом:
умножаем каждое из уравнений (Ь) на неопределенный множитель, который для
L-го уравнения назовем SL; далее, суммируем частные производные по каждой
из величин х" левой стороны полученных уравнений с частными производными,
взятыми по той же величине от формы (с), которую следует привести к
минимуму; приравниваем полученные суммы нулю и получаем 3п уравнений вида
^-x; + i1xLrsL = о, (d)
L = 1
которые с i уравнениями (Ь) дают для определения Зп -f- i величин х" и S
3п + i линейных однородных уравнений, и, следовательно, имея в виду (с),
найдем наименьшую кривизну. Выполнение (d) для всех положений возможного
пути является, таким образом, необходимым условием для того, чтобы путь
был прямейшим, и уравнения (d) являются, следовательно, искомыми
дифференциальными уравнениями прямейшего пути.
156. Примечание 1. Уравнения (d) представляют также и достаточные
условия минимума, ибо вторые производные
эа с2 [эх; эх;| '
исчезают, коль скоро v vl ц различные; если же v и равны, то они
необходимо положительны. Следовательно, значение кривизны не может иметь
других значений, кроме минимума. Выполнение уравнений (d) для всех
положений возможного пути есть, следовательно, достаточное условие того,
чтобы путь был прямейшим.
457. Примечание 2. Имея в виду п. 72 [179], можно уравнения (d) записать
так:
I"~~т~ ' ~Is C0S = - XlvJSL'
Уравнения (d) дают, следовательно, представление о том, как должно
меняться направление вдоль пути, чтобы путь был прямейшим; именно, каждое
из этих уравнений дает изменение наклона пути относительно некоторой
определенной прямоугольной координаты.
158. Задача 2. Выразить в обобщенных координатах дифференциальные
уравнения прямейшего пути материальной системы.
Возьмем опять в качестве независимого переменного длину пути. Координаты
рв и их производные р'е удовлетворяют к уравнениям п. 130:
2 Р"е Р* = °> (а)
P=i
а величины р"д - уравнениям:
2P"K + 224tP*P° = Q-
0=1 0=10=1 и
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ"
517
Среди всех значений р", удовлетворяющих этим уравнениям, имеются те,
которые обращают кривизну с, а следовательно, и правую сторону уравнения
(с) п. 108 в минимум. Если мы поступим по правилам дифференциального
исчисления, как в п. 155, т. е. введем множитель Пх, на который умножим
и-е уравнение (Ь), то получим необходимое условие минимума в форме:
2 "*"+2 2iMг " т тй") Л р'+2'р-п~ = о • (О
(7-1 <7 = 1 Т= 1 У=1
где д для каждого уравнения получает определенное зцачение от 1 до г.
Вместе с уравнениями (Ь) они образуют г + к неоднородных линейных
уравнений для определения г + к величин р"е и Пх, а затем по п. 108 [18°]
определяется наименьшая кривизна. Выполнение уравнений (с) для всех
положений пути является необходимым условием для того, чтобы путь был
прямейшим.
Примечание 1. Выполнение уравнений (с) является вместе с тем и
достаточным условием для минимума кривизны, а следовательно, и для
прямейшего пути. Ибо п. 108 есть лишь трансформация п. 106 для кривизны.
Следовательно, здесь, как и в п. 156, найдем, что уравнения (с)
достаточны для минимума кривизны, т. е. для прямейшего пути [181].
Примечание 2. Согласно п. 75 имеем
___
у Дм cos (s,pe) = ^asap'a,
0-1
следовательно,
fj . г r r г\п
ds (Уа°я cos (s, ре)) = ^ аеа ра + >' Jg - р'а р'г
<7=1 <7=11=1 ИТ
Поэтому уравнения (158) можно записать в таком виде:
i {Уавв cos (s, Ре)) = ^ Р'Р', - 2 Р" П* •
(7= 1 х- 1 ¦ У- 1
Уравнения (с) п. 158 дают, следовательно, представление о том, как должно
меняться направление вдоль пути, чтобы путь оставался прямейшим. Именно,
каждое из этих уравнений дает изменение наклона пути относительно
определенной координаты ре.
Теорема. Из данного положения в данном направлении возможен один и только
один прямейший путь. Ибо, если заданы положение и направление, то
уравнения пп. 158 и 155 определяют, и притом однозначно, значения для
изменения направления ; следовательно, они через данные величины
однозначно определяют начальное положение и направление в ближайшем
элементе пути; таким же образом - для следующего элемента и т. д. до
бесконечности.
Следствие. Вообще невозможно провести прямейший путь между двумя любыми
