Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
наглядности изложения. Вследствие этого указанные работы должны заставить
задуматься привычных к абстрактному ходу мысли математиков и в этом
отношении ничего не теряется оттого (а даже скорее оказывается полезным),
что упомянутые исследования по большей части выполнены не так методично и
не так строго, как мы это считаем общепринятым.
Среди отдельных вопросов, которые я хочу ближе рассмотреть, замечание об
истории возникновения гамильтоновой теории интегрирования должно иметь
общий интерес. Относящиеся сюда обстоятельства, как кажется, являются
совершенно неизвестными, хотя сам Гамильтон с достаточной ясностью писал
об этом в различных местах своих работ, особенно в своей первой статье о
системах лучей (1828).
Гамильтон нашел такое представление корпускулярной теории, согласно
которому определение светового луча, проходящего через какую-либо
неоднородную (но изотропную) среду, представляет собой специальный случай
обычной механической задачи движения материальной точки; мы можем тут же
добавить, что требуемая специализация не является существенной и что,
более того, если перейти к пространствам высших измерений, то каждая
механическая проблема может быть приведена к определению пути светового
луча, проходящего через какую-либо соответствующую среду.
Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных
уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в
частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов
геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения
волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего
времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений
динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая
формулировка хорошо известного в физической форме соотношения между
световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного
положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой
Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон
первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических
запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только
такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение
Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны
точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как
известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из
специальных волн строят общие;
33 Вариационные принципы механики
514
Ф. КЛЕЙН
это построение есть точный эквивалент аналитического процесса,
посредством которого в теории дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка переходят от какого-либо "полного" решения к
"общему". [Оптика в том смысле, в каком мы ее здесь понимали, есть
геометрическая оптика, которая имеет дело с понятием светового луча
(следовательно, явления дифракции принципиально исключаются) и при
применении обычных прямоугольных координат подчиняется дифференциальному
уравнению в частных производных первого порядка второй степени :
В силу этого она сначала представляется совершенно отличной от физической
оптики, в центре которой стоит дифференциальное уравнение в частных
производных второго порядка первой степени :
02Ф 02Ф 02Ф 1 02Ф _ " . .
0х2 + 0у2 + 0Z2 с2 Ы2 •
Однако геометрическая оптика может считаться предельным случаем
физической, когда рассматриваются бесконечно малые длины волн. В самом
деле, подставим в уравнение (2) для Ф выражение е271'к/(х<у'г'{) и
устремим к к бесконечности; тогда в пределе получим уравнение (1). Ср.
Debye в добавлении к статье A. So mmеrfe 1 d u. J. Runge, Annalen der
Physik, 4 серия, т. 35, 1911, стр. 290. F. Klein.]
Г. ГЕРЦ
ДВА ОТРЫВКА ИЗ КНИГИ "ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ,
ИЗЛОЖЕННЫЕ В НОВОЙ СВЯЗИ" [177]
Раздел 5
ПУТИ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Г. Прямейшие пути
151. Определение 1. Элемент пути материальной системы называется более
прямым, чем какой-либо другой, если он имеет меньшую кривизну.
152. Определение 2. Прямейшим элементом пути называется возможный элемент
пути, являющийся более прямым, чем все другие возможные элементы путей,
которые имеют вместе с ним общее положение и направление.
из. Определение 3. Путь называется самым прямым, если все элементы его
самые прямые.
154. Аналитическое представление. Все элементы пути, среди которых есть
прямейший элемент, имеют общее положение и направление, т. е. имеют
одинаковые значения координат и первых производных от координат по
независимым переменным. Кривизна их выражается через вторые производные
от координат. С помощью их и различаются элементы пути. Ясно, что вторые
производные должны быть такими функциями координат и первых производных,
которые обращали бы кривизну самого прямого элемента в минимум.
Уравнения, которые выражают это условие, должны выполняться для всех
положений прямейшего пути; они, таким образом, являются одновременно
