Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Предполагая, что переменные а содержат время /, от которого раньше не
зависели, мы даем им несравненно больший простор, чем они имели раньше, и
поэтому неудивительно, что они дают решение вопроса, которого не могли
дать, оставаясь независимыми от времени.
Подставим в уравнении (80) вместо х и f их выражения
/ @2 > • • ¦ I ^2тп) > F (tj @1 @2 >••• > ^2тп) •
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 377
Подстановка производится совсем просто в правых частях уравнений, потому
что они содержат только самые переменные х и f. Для выражения
дифференциалов dx и df, образующих левые части, нужно различать члены,
получающиеся при дифференцировании по /, явно входящему в х и f, и члены,
получающиеся при дифференцировании по /, входящему в величины а. Мы
воспользуемся символом А, который до сих пор относился к произвольным
вариациям а, для второй группы членов и будем писать полные дифференциалы
х и f в виде:
Если бы величины а не зависели от времени, мы имели бы вследствие самой
природы х и f тожественно
Эти уравнения продолжают оставаться тождественными и тогда, когда
содержат время, потому что они не зависят от величин а и имеют место при
замене каждой из величин а любой величиной. Следовательно,
Это дифференциальные уравнения первого порядка. Число этих уравнений 2тп
равно числу искомых функций а. Мы представим их в более удобной форме.
Для этого вычтем второе, умноженное на Sf/>A., из первого, умноженного на
дхрК Мы получим
Символ д обозначает, как и раньше, дифференцирование, относящееся к
произвольным изменениям величин а.
Суммируя полученные уравнения по i и к, получим
Это уравнение не отличается от уравнения (81). Действительно, вследствие
произвольности дх(Р и 6fijA оно удовлетворяется лишь при равенстве
коэффициентов при этих членах, что и дает уравнения (81).
где
Ах =
После подстановки уравнения (80) перейдут в уравнения
d?j k _ d& dx(lp __ d@
dt dx(p ' dt diL
(81)
.378
М. В. ОСТРОГРАДСКИП
Хотя первый член уравнения (82) совершенно подобен первому члену •формулы
(70), нельзя заключить, что сумма
i=m к=п-1 i=l к=о
не зависит от времени. Она является такой в уравнении (70), где а не
зависят •от времени. Но она теряет эту независимость, когда а становятся
функциями времени. Однако поскольку переменная t входит явно в х и ?,
постольку она исчезнет из выражения
i-m к=п- 1 ;_1 к=О
которое зависит лишь от времени, входящего в а, и потому не изменится,
если вместо общих выражений
X f (1, 0-2 , ... , CLzmn) t ? F (/, flj, Й2 i ' *' > @2mn) >
мы подставим в него выражения, относящиеся к какому-нибудь определенному
моменту, например t = 0. Само собой разумеется, что время фиксируется
лишь там, где оно входит явно, и остается произвольным в функциях а.
Заменяя дифференциалы Ьх\к), Ах^к), д?иь A?i:k их значениями
2тп Иу
х AAi'A да ¦
Шх dar "
2 тп (jt
получаем из уравнений (82) формулу
2 тп dx<P
2 5= 1 das das f
2тп dh ь
2 5= I * it к das das
2тп 2тп т п-1 / dx(k) dt dy(k) dt \
2 2 2 У ~г~^г- - da*8аг
г=1 STi 1~\ ~о \ dar da, das dar J
2mn m n-l /' dv\H> dP \
г= 1 i=l /f=0 V a r uar !
или, обозначая для краткости,
2 2\Xi'k dn +-'Д dn ~ r>
i=l k=0 V dar dar
получим
2mn 2mn 2mn
2 2 (r's) das 8ar= 2 8ar • (83)
r=l s=l r=l
Так как Ьаг произвольны, последнее уравнение распадается на уравнения
г=2тп
2 (г, s) das = Ardt, (84)
г= 1
которые при всевозможных номерах г составляют 2тп уравнений, заменяющих
формулы (81), и из которых можно найти 2тп значений а как функции
времени. Остается только заметить, что вследствие природы символа (г, s)
переменная t не входит в первый член уравнения (84). Этот член содержит
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ
379
лишь переменные а и их дифференциалы в линейной форме. Функция Аг может
содержать время явно.
Приложение формулы (84) к частным случаям требует вычисления символа (г,
s) для различных номеров г и s. Мы уже говорили, что нужно найти тп (2тп
- 1) значений символа непосредственно, а остальные - с помощью найденных.
Эти вычисления, вообще говоря, требуют знания х и f как функций а. Но при
подходящим образом выбранных системах постоянных интегрирования можно
легко определить все значения символа (г, s), не только не зная выражения
х и f через а, но даже не интегрируя ни одного из уравнений (14).
Среди этих систем надо различать такие, в которых а являются начальными
значениями х и f. Образуем дифференциальные уравнения, обладающие такой
системой.
Так как величины а означают в действительности начальные значения х и I,
удобно изменить нумерацию, связав каждое начальное значение с отвечающей
ему переменной. Мы обозначим через а(/° начальное значение а через аьк -
начальное значение Вместо уравнения (83) мы будем писать :
Кроме того, в символе (г, s) мы будем писать вместо номеров сами
величины, введенные интегрированием.
Применяя новые обозначения, мы можем записать уравнения (84) в
интересующем нас частном случае следующим образом:
