Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 172

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 461 >> Следующая

389
самую силу и прибавлять к ней сопротивления. Из этих трех случаев
особенно замечателен второй.
Уравнение Т = П + h всегда будет иметь место, если силовая функция и
условия не будут содержать времени и если величина начальной скорости
будет одна и та же. Начало наименьшего действия Лагранжа получает здесь
fi
следующее простое выражение : J Tdt для свободного движения точки
fo
имеет величину, меньшую, чем для всякого несвободного, происходящего под
действием той же силы, имеющего ту же начальную скорость (по величине) и
проходящего через те же начальную и конечную точки.
Обратимся к примеру.
Вообразим параболическое движение наклонно брошенной тяжелой точки.
Положим, что начальная скорость v очень велика, но угол <р наклона ее к
горизонту очень мал. Это движение сначала будет очень мало разниться от
горизонтального прямолинейного равномерного, имеющего ско-рость v0. (Для
большего сближения движений можно, если угодно, заменить тяжесть другою
постоянною силою, имеющею произвольно малую напряженность.) Положим, что
оба движения происходят в плоскости xz, первое определяется уравнениями
х = г0 cos <pt, z = v0 sin yt - у gf2;
второе определяется уравнениями
x = v0t, z = 0.
Силовая функция для первого движения будет : - gz. Уравнение Т = = П + h
или t2 = v\ - 2gz будет иметь место и при втором движении. Сравним оба
движения между теми точками, в которых пересекаются траек-
t\
тории ; сравним выражения jTd/:
t.
для первого движения
Т = -j{vl - 2vQ sin <pgt + gf2}, для второго движения
для первого движения
для второго движения
для первого движения
?i =
2 v0 sin <р g
ti =
2 Vq sin rp COS q> g '
390
Ф. А. СЛУДСКИЙ
для второго движения
)Тdt = Y=
J ?8
t"
i>oSina> f, 1 . 9 l-д )
= g \1 - y sin2?>- -g-sin4?)-.. .j.
Итак, при малых величинах q> величина J Т dt для первого движения
и
меньше, чем для второго.
Начало наименьшего действия Остро градского в применении к дви-
жению свободной точки состоит в том, что J (Г + П) dt для движения
U
точки, определяемого уравнениями
УП _ d2x Ш __ J*y_ _ _d*z_
dx ~~ dt* ' dy ~~ dt* ' dz ~ dt* '
имеет величину меньшую, чем для всякого другого, проходящего через те же
начальную и конечную точки, начинающегося и оканчивающегося в те же
моменты времени.
Начальные скорости могут здесь различаться не только по направлению, но и
по величине. Все сравниваемые движения не могут и здесь происходить под
действием одной и той же силы, иначе все они определялись бы уравнениями
dTI _ <Рх dTl d2y dTl d2z
dx dt2 ' dy dt2 ' dz dt2 '
и для всех J (T -)- П) dt имел бы наименьшую величину. Изменение силы
и
в сравниваемых движениях может быть заменено прибавкою сопротивлений,
происходящих от условий.
Возьмем опять параболическое движение наклонно брошенной тяжелой точки и
горизонтальное прямолинейное равномерное.
Сравним величины J (П + T)dt для этих движений. Так как оба дви-
к
жения должны начинаться и оканчиваться не только в одних и тех же точках
пространства, но в одни и те же моменты времени, то величины начальной
скорости в них должны быть различны. Изменим величину начальной скорости
во втором движении, означим ее через vv Она будет равна v0 cos (р. Примем
за П силовую функцию первого движения. Для первого движения
П + Г = у (vl - 4 v0 sin <р gt + 2 g212),
для второго движения
П +T - yt)|cos 2<p.
Для обоих движений
2 v0 sin rp
ti
заметка о начале наименьшего действия
391
Для первого движения
jV + T)a = ^[i-|sin>",],
t,
для второго движения
J(tf+ T)df = _sin2y].
f,
Итак, J (77 + Т) df для первого движения меньше, чем для второго.
и
Если бы мы приняли за П силовую функцию второго движения
h
(нуль), то нашли бы, что для первого движения j (IT -j- Т) dt равняется

v% sin (р (л 2 • 9 \
---- 1^1- у sirг tpj и что для второго движения он равняется г>о sin у ^
_sin2y). Результат, как и должно быть, получился бы
е>
обратный.
386
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
мости подлежит определению. Продифференцируем (91), считая Н переменной.
Мы получим
т n-i т л-1 / .//л dfo \
22 (р,,кd?,,k -dxf) = dt22 \Р^7Ж + П'^г}+Ш-
1 = 1 k=Q (=lfc=o'- i uii,k J
Заменяя d? й dx их значениями (80) и вычеркивая то, что взаимно
уничтожится, получим
m. n- 1
dH = dt 2 2 (Р',х х>." + ni* я<>) • (92>
1=1к=О
Это уравнение дает значение Н, при котором формула (91) превращается в
интеграл уравнений (80). На самом деле предыдущее выражение для dH не
имеет формы (88), подходящей для величин, введенных интегрированием когда
они превращаются в функции времени. Но его нетрудно привести к такой
форме в частном случае.
Предположим, например, что функция V, а следовательно и 0, не содержит
явно времени. Тогда можно сделать формулу (91) интегрируемой, положив
_ й@ п - d&
Pi'k _ 'diiik ' ''к~ dxf '
так как при этом она превращается в уравнение
°-\ЖЖ{^+^'А+н <93>
или в
в + Л = 0. (93)
Величина - Ли будет значением Н, подходящим для нашего частного случая.
Уравнение (93) отличается от уравнения живых сил только тем, что величина
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed