Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 169

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 461 >> Следующая

382
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
что и доказывает точность формулы (89). Таким образом, дело сводится к;
доказательству того, что дифференциал
т п- 1 / da da da
J | r s_r s
k~o V dP.к dx<P dxP dh,k
или
x'x: ( dds 1 dUr dUr .1 da* I dUr л dUs dUs i dUr I
dfI.к dxV d%i,k d$i,k dxP dP,к dxP j
равен нулю. Для этого предположим, что мы выразили с помощью интегралов
уравнений (14) одну из переменных ах, а2)..., а^, например аг, как
функцию t, х и ? без других переменных а. Дифференцируя найденное таким
образом выражение ar по t, получим
dd т Л-1 / Ил Ил
или, заменяя дифференциалы d^,,k, и dtfP правыми частями уравнений: (14)
и разделив на dt, получим
_ dar (tm) пр, d& _ dar d& \
dt rTj i^o\dP',k' d*P d*p dh\k'}'
Эта последняя формула, вследствие свойств интегралов дифференциальных
уравнений, должна быть тождеством и ее можно дифференцировать по" любым х
и ?. Дифференцируя по х*/0 и ?/,*> получим тождества
А <*Ч | ^ ( d\ d&_d\ d& i ,
dt dxtp dyf-P dxtp dxtp dS^ ^J
i (tm) "-J I dar d* & dar d2& \
d*i)d^P dx<P dxtpd(rik<}
d2ar
'°r_ . ^ ( d*ar d& 44 ¦ d(r) A
" d'dP,k ^oUp.k^rx dx<P dhkd*P аР,к'У
(tm) 1 / dar rf2(c) da^ d2@ I
kTo \dP\k' dP, к dx(P d*p dP,kdP',k')'
Отсюда, дифференцируя частные производные ^"гк) и -у- по времени
йх i йдifc
^ ли* 4(c) d&
и заменяя и dxp ' соответственно на ¦ (к^- и ---, получим
йх ^ "W,k
(_йаЛ cfar (tm) -J | 44 d(c)________________________d\___J&_\
{dxW J dt dx(p Ш 2Lx [ dx<*> d^rr dxtp dxp dx<P d?ry) '
f dar ) d\ (tm) ( d4r d& d4r d&
\dP,k) d*dh,k r"i [dP\kdP\k' dxfP dP,kdxV d$i',k'
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 3g3
Сравнение этих результатов с двумя предыдущими тождествами дает
dar dar d2& dar d2&_\
dx(c) j dx(p dx(c) df;-d^i'x dx^dx^p)'
dor ,,к =^Г1 f dar d2& dar d2@
d d$iik~ dt ^ ;f*0 [dxtp dgi kd?r k' dir>k- dslJ;dx<P)'
Выполняя c as операции, аналогичные тем, которые мы проделали с а" найдем
для дифференциалов и выражения, аналогичные предыду-
щим. Эти выражения получаются из предыдущих простой заменой номера г на
s:
das ,, fc'^71 ( da, d2& da, d2&
й~Ш)=т Л. Л
dx(c) г" \ dx(p dxtpdSj' ^ df,'_ k> d.r(c) dx{p
d das _ (tm) "~? I dar d2(c) dar d2& \
dSt, k f~i Ло I dxip diukdii'X dSi%k- dffc dx<f/> J '
Подставляя в дифференциал
, " n~\ ( dar da, dar da,
йЛЛ -
Ф\ k~o I d^i.k dxfp dx(c) diiik j '
т. e. в
V- "-V ( dCls rl dar d°r rl da° 4- dClr d йа* - da° r! d<lr Л. I dx(c) d$j
k dx(c) dSi k dgi k dx(c) d$i>k dx(c)
i=l fc=0
вместо
dJPr_ dJ?i_ d-dar
d$i,k ' dSitk' dx(c) ' dx(c) их выражения, только что полученные, и полагая
для краткости
_ dar das d2& dar das d2& ,
^i,k,i',k ./fc0 .>k) "T '
dxp dxf'P dSiikdSrx ^ dx(c) dat,x dii:kdxp dar das d2& dar das d2&
л J-У/Л J,Jk'\ +
df,- fc dx(P dx(c)dx<~p df,^k- d?i k dx(c)dxf'P '
мы найдем
i da da da da \ m n-i m n-i
d22[^kl^-^i4=^2 2 2 2^M',r-Pr,.,u)-
1 = 1 k=0 I ugi,k ux i i usi,k ) ,-=l k=o i'=l ^=0
Но очевидно, что интегрирование в данных пределах, произведенное как
посредством Г, так и посредством J, не зависит от переменных
интегрирования, а зависит лишь от пределов. Поэтому мы можем вместо
РцХ,>.к писать Pitkii,<k,, потому что при этом лишь меняются переменные
Г, к' на i, к и обратно. После такой замены правая часть последнего
уравнения исчезнет и будет
m п~ * ( da, da, da, da A
J •'%-! -^1 j Г " s Г "US 1 _ r\
ййк* dx(i] ^р<к i '
что после интегрирования дает
22 (^Tw-7rw'J^] = const = c- <90>
f"l k~0 ' dSi,k dxf dx(i] dP,kj V
Буква С обозначает переменную, не зависящую от времени. Следовательно,
"L ( da, da, da. da, \
2 2 {ysiJC df^)= (Gr'fls) • (89)
Мы уже говорили, что частные производные от а для вычисления суммы
dar das dar das
m n-1 , da
2 2 hr
i_ 1 k-O V us'.
dxdp dx(r) dS; (
находят из интегралов уравнений (14), которые устанавливают 2тп соот
ношений между 4тп + 1 величинами, именно между х, ?, а и Л Вследствие
этих соотношений можно рассматривать а как функции х, ? и t, и если в
этом предположении продифференцировать упомянутые соотношения по каждой х
и каждой |, рассматриваемым как независимые друг от друга и от времени,
то получим 4т2я2 линейных уравнений между производными а, откуда и можно
найти эти производные для вычисления всех значений символа (ап as) или
суммы
!=m к=п-1 / da da dd
2 2
к=О
s
etSi k dx(r) dx<p d(i>k
Значения, о которых мы говорили, содержат а, х, ? и t. Но если из них с
помощью интегралов уравнений (14) исключить х и I, то уйдет также и
время, и наши значения будут выражаться через переменные а, независимые
от времени. Это и есть результат, выражаемый формулой (89) или (90).
Если мы не имеем всех интегралов (14), мы не сможем вычислить всех
значений символа (ar, as). Значение одного-единственного интеграла не
дает, вообще говоря, ни одного значения, два интеграла дают лишь два
значения (ап as) и (as, аг), которые, отличаясь только знаком, могут
считаться за одно; I интегралов в общем случае дают 1(1 - 1) значений
символа, но это число надо уменьшить в два раза, так как два значения,
Предыдущая << 1 .. 163 164 165 166 167 168 < 169 > 170 171 172 173 174 175 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed