Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
При всевозможных комбинациях значений г, s символ (г, s) имеет 4ш2п2
значений, но так как, очевидно,
(г, г) = 0, (77)
то 2тп из них будут нулями и остается лишь 2тп (2тп - 1), которыми мы и
будем заниматься. Прежде всего, замечаем, что
Оr,s) = - (s,r)
или
(r,s) + (s,r) = 0, (78)
следовательно, из 2тп (2тп - 1) величин остается вычислить лишь половину
или тп (2тп - 1).
Эти оставшиеся тп (2тп - 1) значений (г, s) символа отвечают различным
комбинациям по две из независимых от времени av а2,..., ашп и могут быть
вычислены только в частном случае, т. е. когда известны
функция V
и система произвольных постоянных а, полученных при
интегрировании
уравнений (14).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 375
Если мы рассмотрим три различных значения символа (г, s), обозначенные
через (г, s), (s, q), (q, г), то легко проверить, что справедливо
Действительно, d(r,s) _ fc=±r1
daQ i= 1 к=0
d(r, s) d(s,q) d(q, r) = " /удч
daq dar das ' '
dx(lp d2Sitk dx(r) d2fk d2x(r) dtji>k d2*(r) df,
das daq das das daq dar daq dar dar daq das
и аналогично для двух других производных.
Складывая эти три уравнения, мы увидим, что все члены правой части
взаимно уничтожаются и получается формула (79), которая небесполезна в
частных вопросах теории вариации произвольных постоянных.
Зная системы постоянных а, можно без труда вычислить все значения символа
(г, s), не зная функции V, т. е. не конструируя уравнений (14),
интегрирование которых и даст постоянные а. Наиболее простые системы мы
получим, принимая за произвольные постоянные значения хи|в какой-нибудь
данный момент.
Назовем для удобства эти значения начальными и рассмотрим систему таких
постоянных.
Так как символ (г, s) не зависит от времени, можно придавать этой
переменной произвольные частные значения, не меняя самого символа.
Придадим t значение того момента, которому отвечали начальные значения х
и f, принятые за произвольные постоянные. Так как х и f будут играть роль
а, то очевидно из уравнения (76), что символ (г, s) будет иметь значения
0 или db 1. Имеем прежде всего, что
(г, s) = 0,
когда две величины а с номерами г и s представляют начальные значения х
или f. Поэтому в первом случае окажется
= о ; = 0 ,
dar das
а во втором
^"0; ^ = 0.
dar das
Это дает нам 2тп (тп - 1) значений символа (г, s), равных нулю. Теперь
рассмотрим случай, когда из двух переменных аг и а$ одна представляет
начальные значения х, а другая - f. Если, например, аг есть начальное
значение х, мы получим
что дает
(г, s) = 1 или (г, s) = О
соответственно тому, является ли as начальным значением fiik с теми же
номерами г, к, что и х(r), или каким-нибудь другим. Мы видим, что из т?п2
значений символа рассматриваемой нами категории только тп равны единице,
а тп (тп - 1) остальных равны нулю. Предположим теперь, что аг
376
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
есть начальное значение одной из например f. Тогда as будет представлять
начальное значение одной из переменных х, и мы получим
. Лс(r)
откуда заключаем, что
(г, s) = - 1 или (г, s) = 0,
соответственно тому, представляет ли as начальное значение х(к> с теми же
номерами, что ?itk, или какого-нибудь другого х. Мы видим, как и выше,
что из rrPti2 значений символа (г, s), в предположении, что аг и as суть
начальные значения одного из f и одного из х соответственно, только тп
равны - 1, а тп(тп- 1) остальных суть нули. Мы имеем, следовательно,
всего Атп (тп - 1) нулевых значений символа (г, s), тп значений, равных +
1, и тп, равных - 1, т. е. имеем всего 4тп (тп - 1) + 2тп = 2тп (2тп - 1)
значений, представляющих все возможные значения, за исключением случая г
= s, когда символ равен нулю даже в общем случае.
Для объединения полученных результатов назовем соответственными
переменные х и ? с одинаковыми номерами i и к. Следовательно, каждому
xjh) отвечает переменная и обратно : переменные х и ? с разными номерами
не суть соответственные, например хI' и f5>6.
Положив это, будем иметь : (г, s) - 1, когда аг будет значением хи а, -
значением соответствующей f ; (г, s) = - 1, если. аг есть начальное
значение f и а, - соответствующее значение х.
Во всех других случаях (г, s) - 0.
Заметим, что символ (г, s) не равен нулю лишь тогда, когда аг и as
представляют начальные значения соответствующих величин.
14. Предположим теперь, что вместо уравнения (14) мы должны разрешить
систему
d&
d?i,k = cix(f> d* + Xik dt,
d(r)
d*t)= ~nndt~ai-kdt'
u^i,k
(80)
где величины Х/Л и EUk суть заданные функции времени t и х, f. Для
решения их нужно воспользоваться решением уравнений (14), считая
переменные а, не зависящие там от времени, функциями времени.
Интегрирование уравнений (14) дает для х и f
X = / (/, flj, IZg , . . . , #2тп) f ? " (ty i * • • >
@2mn) *
Предположим, что и для системы (80) окажется
X / (t, й], Й2 j • • ¦ t @2тп) ) ^ (t> ^2 > • ¦ *
> ^2тп)
с той лишь разницей, что постоянные а содержат время /, тогда как в
выражении х и f из уравнений (14) они абсолютно независимы от времени.
