Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Л зависит здесь от времени. Ее величина, или, вернее, величина ее
дифференциала по времени, получается из формулы (92):
i=mk-n-l г d(r) Л
- dh - dt ^ v Iv.. ----4\._(r)bLl
i=mK=n- l /
;=1 k=0 к
dhk
или, если заменить и их значениями из уравнений (80), то
йх I USi^k
i=mk=n-1
dh = 2 2 {Xi,kdx^ + Eitk diitk). (94)
/=1 k=0
Для приведения дифференциала dh к форме (88) заметим, что так как в не
содержит явно времени, она не входит больше в уравнения (14). Из этого,
как известно, следует, что между величинами, появившимися при
интегрировании, имеется одна, которая всюду добавляется к времени.
Поэтому, обозначая только что упомянутую величину через е, мы должны
считать как х, так и i функциями t + е.
Это имеет место, повторяем, вследствие того, что нигде t не появляется
без сопровождающей его е и нигде е не появляется без t. Поэтому
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 387
что дает
Сравнивая сумму в правой части этого уравнения с формулой (83),
устанавливаем, что сумма есть одна из функций А. Обозначая последнюю
через Ае, получим
Это и дает нам изменение постоянной живых сил, произведенное возмущающими
силами.
Если теперь применить этот результат к уравнению (88), то немедленно
найдем следующие значения символа (а" а3):
причем (96) и (97) имеют место всегда, когда as представляет величину,
введенную при интегрировании и отличную от е. В предыдущем примере мы
видели, что один-единственный интеграл уравнений (14) в частном случае
может дать несколько значений символа (ar, as).
При применении формулы (92) исследуют, не являются ли интегрирующие
множители pi<k и Пик в то же самое время производными х и | по переменным
а или линейными функциями этих производных. Если это оказывается так,
можно легко привести дифференциал йН величины Н, даваемой интегралом
уравнения (91), к форме (88), что немедленно дает несколько значений
символа (an as).
Примером этого может служить динамика.
Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения
системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от
направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от
положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат
величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда
рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы
заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих
уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей
координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и
равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при
криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил
инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от характера этого
движения.
Если предположить, следовательно, что множители р и П будут частными
производными координат, выбранных для определения движения, по каждой из
девяти упомянутых величин, то формула (91) в занимающем нас случае
динамики становится интегрируемой и мы получаем девять интегралов со
столькими же произвольными постоянными И. Таким образом, если принять во
внимание значения множителей р и Я, то уравнение (92) приобретает удобную
форму. Мы придадим йН и девяти произвольным постоянным Н вариации,
произведенные возмущающими силами. Следовательно, мы одновременно получим
значительное число величин символа (ar, as), и тогда можно будет
определить посредством прямого вычисления те значения нашего символа,
которые ускользают от нас при частных методах. Мы вскоре покажем это на
примере [144].
dh = ABdt.
(95)
а затем
(h, е) = 1, (ft, as) = 0,
(96)
(97)
Ф. А. СЛУДСКИЙ
ЗАМЕТКА О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ [145]
Настоящая замётка служит пополнением реферата, прочитанного мною 17
декабря 1866 г. в Математическом обществе и напечатанного в 1-м выпуске
11-го тома Математического сборника. Я намерен показать на примере
разницу между выражениями начала наименьшего действия, данными Лагранжем
и Остроградским.
Для простоты ограничимся опять случаем движения свободной точки, массу
которой будем принимать равною единице.
Начало наименьшего действия Лагранжа, в применении к движению
свободной точки, состоит в том, что С Т dt для движения точки,
определяемого уравнениями
dTl йгх dTl _ (Ру dTl (Pz
Чс ~ Чр ' Чу~-. Чр ' ЧГ ~ ЧГ '
имеет величину, меньшую, чем для всякого другого движения,
проходящего через те же начальную и конечную точки и
удовлетворяющего тому
же условию : Т = П -f h.
Сравниваемые движения мы определяем кинематически - определяем тем, что
они проходят через одни и те же точки пространства и подчиняются одному и
тому же условию. Для большей ясности постараемся характеризовать их
динамически, характеризовать производящими их силами и начальными
скоростями.
Начальные скорости всех сравниваемых движений должны быть равны по
величине, так как все эти движения начинаются в одной и той же точке
