Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
что дает*
dh =
Сравнивая сумму в правой части этого уравнения с формулой (83),
устанавливаем, что сумма есть одна из функций А. Обозначая последнюю
через Ае, получим
dh = Aedt. (95)
Это и дает нам изменение постоянной живых сил, произведенное возмущающими
силами.
Если теперь применить этот результат к уравнению (88), то немедленно
найдем следующие значения символа (ап as):
(h, s) = 1, (96)
а затем
М = 0, (97)
причем (96) и (97) имеют место всегда, когда as представляет величину,
введенную при интегрировании и отличную от е. В предыдущем примере мы
видели, что один-единственный интеграл уравнений (14) в частном случае
может дать несколько значений символа (ап as).
При применении формулы (92) исследуют, не являются ли интегрирующие
множители рик и Пик в то же самое время производными х и | по переменным
а или линейными функциями этих производных. Если это оказывается так,
можно легко привести дифференциал dH величины Н, даваемой интегралом
уравнения (91), к форме (88), что немедленно дает несколько значений
символа (an as).
Примером этого может служить динамика.
Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения
системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от
направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от
положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат
величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда
рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы
заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих
уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей
координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и
равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при
криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил
инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от характера этого
движения.
Если предположить, следовательно, что множители р и П будут частными
производными координат, выбранных для определения движения, по каждой из
девяти упомянутых величин, то формула (91) в занимающем нас случае
динамики становится интегрируемой и мы получаем девять интегралов со
столькими же произвольными постоянными Н. Таким образом, если принять во
внимание значения множителей р и Я, то уравнение (92) приобретает удобную
форму. Мы придадим dH и девяти произвольным постоянным Н вариации,
произведенные возмущающими силами. Следовательно, мы одновременно получим
значительное число величин символа (ап as), и тогда можно будет
определить посредством прямого вычисления те значения нашего символа,
которые ускользают от нас при частных методах. Мы вскоре покажем это на
примере [144].
25*
Ф. А. СЛУДСКИЙ
ЗАМЕТКА О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ [145]
Настоящая заметка служит пополнением реферата, прочитанного мною 17
декабря 1866 г. в Математическом обществе и напечатанного в 1-м выпуске
11-го тома Математического сборника. Я намерен показать на примере
разницу между выражениями начала наименьшего действия, данными Лагранжем
и Остроградским.
Для простоты ограничимся опять случаем движения свободной точки, массу
которой будем принимать равною единице.
Начало наименьшего действия Лагранжа, в применении к движению
свободной точки, состоит в том, что С Т dt для движения точки,
определяемого уравнениями
АП Агх АП АРу АП A2z
Чх - Чр ' Чу~ -. Чр ' ЧГ ~ Чр~ '
имеет величину, меньшую, чем для всякого другого движения,
проходящего через те же начальную и конечную точки и
удовлетворяющего тому
же условию : Т - П + h.
Сравниваемые движения мы определяем кинематически - определяем
тем, что они проходят через одни и те же точки пространства и
подчиняются
одному и тому же условию. Для большей ясности постараемся характеризовать
их динамически, характеризовать производящими их силами и начальными
скоростями.
Начальные скорости всех сравниваемых движений должны быть равны по
величине, так как все эти движения начинаются в одной и той же точке
пространства и так как все они подчиняются условию : Т = П + h.
Направления начальных скоростей могут быть различны.
Если свободное движение сравнивается со свободными же, то, очевидно, эти
последние не могут происходить под действием той же силы; иначе все
сравниваемые движения определялись бы уравнениями
'АП _ АРх АП АРу АП _ cPz
Ах АР ' Ау АР ' Аг АР
h
и для всех движений J Т dt имел бы наименьшую величину. Сила измени-
ется, следовательно, в сравниваемых движениях.
Всякое несвободное движение можно рассматривать как свободное,
происходящее под действием силы и сопротивлений.
М Включая в число сравниваемых движений свободные и несвободные, можно
изменение силы в сравниваемых движениях производить трояко: 1) можно
изменять самую движущую силу; 2) можно, не изменяя самой движущей силы,
прибавлять к ней сопротивления; 3) можно изменять
ЗАМЕТКА О НАЧАЛЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
