Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 177

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 461 >> Следующая

вывести из него как частный случай Лагранжа начало наименьшего действия.
Помощью того же выражения, не прибегая к приему Родрига, легко доказать,
что в начале наименьшего действия содержатся все уравнения динамики, и
получить эти уравнения под каноническим видом.
3. Пусть будет т, т', т",... - система материальных точек, свободных,
или связанных так, что условные уравнения, происходящие от связей, не
содержат явно время. Помощью этих уравнений, как известно, можно выразить
координаты всех точек в функции нескольких между собою независимых
величин qlt q2,..., qn, которые мы будем называть главными переменными. В
случае свободных точек для этих переменных можно взять координаты какого-
либо рода. Произвольные функции времени t, взятые для Qi, Qn,
определят одно из возможных движений системы, т. е. дви-
жение, допускаемое связями. Изменив бесконечно мало эти функции на Qi +
Qz + т2>- • •> Qn + тп, мы изменим бесконечно мало и движение на другое,
также возможное. Положим, что точки (М, М',...) представляют положение
системы во время t в первом движении, а (/л, /л', /л",...) - во втором.
Бесконечно малая величина тк будет варьяцией 'переменной qk, происходящей
от перемещения системы М/л, М'/л',... ; но эта варьяция есть только
частная, взятая так, что время t остается без варьяции. Переменная qk
может получить варьяцию 8qk от перемещения системы из положения (М,
М',...) в положение (v, v',...), которое примут точки (/л, /л',...) во
втором движении во время t + Ы, причем 8t - произвольная бесконечно малая
величина. Перемещение (Mv, M'v',...) есть сложное из перемещения (М/л,
М'/л',...) и перемещения (/iv, /л' v',...); вследствие первого из этих
составляющих перемещений qk переменится на qk -f тк, а это, вследствие
второго составляющего перемещения, обратится в ^ + сок -j- dt -f dt;
отсюда, пренебрегая бесконечно малою высшего порядка dt, получим
dqk = сок -f q'k 8t, где qk = d^- . Мы подчиним dqk условию,
что данная
функция а == f(qlt q2,..., qn), не содержащая явно ни времени
t, ни произ-
водной q'k, остается без варьяции от перемещения (Mv, M'v',...)-, тогда
варьяции 8qlt 6q2,..., 8qn будут связаны линейным уравнением
da s , da s da t .
~dql qi+ ~dfi q2+'" + ~d^ qn=: W
Рассматривая движение от времени tx до времени t2, положим, что (Мх,
М2,...), (/лх, /л2,...)
представляют положения точек
(М,М',...), С<л,/л',-..)
во время tx, а
(М%, М2,...), (/л2, /л%,...)
-положения тех же точек во время f2, и пусть (vx, v2,...), (v2v2,...)
будут положения точек (v, v',...), соответствующие положениям (Мъ М{,...)
и (М%, М'2,...) точек (М, М',...). Траектории точек в первоначальном
движении
Мх ММ2, М[М'М2
(2)
396'
О. и. сомов
можно взять произвольно, и потом положить какую-либо зависимость между t
и переменными дъ д2>..., qn. Уравнения траекторий (2) можно получить
следующим образом: возьмем для qu д2>. •., qn произвольные функции а-г от
этого координаты всех точек сделаются известными функциями а; из
уравнений, выражающих в функции а три координаты одной точки М, выключим
а; это даст два уравнения траектории М1ММ2; так же найдем уравнения
прочих траекторий (2). Подобным образом помощью функций а, выражающих qk
+ dqk, найдем траектории
MiM'Mi > • • ¦
ИЛИ
vtvv2, v^v'v^,...
и установим потом между t и qk + тк или между t + 8t и qk + 5qk такую
зависимость, которая при тк = О или при 5qk = О давала бы зависимость
между t и дк в первоначальном движении. После этих предварительных
понятий о варьяциях, известных, впрочем, из начал варьяционного
исчисления, предложим себе найти варьяцию интеграла, называемого
действием.
4. Если означим через v, v', v",... скорости масс т, т', т",... во
время t
в первоначальном движении, то Т =у 2 mvi = у (mv2 + m' v'2 + ...) будет
живая сила системы, и, как известно, она выразится однородною функциею
второй степени относительно производных qk - , которою пусть будет
Т = yZ arsq'r q's, где коэффициенты ars суть известные^ функции
переменных qk, не содержащие явно время. Интеграл
и
А = j 2Т dt (1)
и
называется действием (action). Если переменим функции времени qk,
определяющие первоначальное движение на qk + а>к, то Т переменится на Т +
+ 8tT, что представит живую силу в измененном движении во время t, т. е.
когда система будет иметь положение (/гг, /л\,...), а величина А
переменится на
к
A + d1A = ^2(T + d1T)dt (2)
и
и будет относиться к движению от положения {{гг, м{,-") Д°
{Мг, Mi,•••)*
Разность величин (2) и (1), пренебрегая бесконечно малыми
высших по-
рядков,
t,
М=/2Л iTdt, (3)
ь
будет варьяция действия, взятая в том предположении, что время t остается
без варьяции. Она существенно различна от варьяции по знаку 8, т. е. от
t,
8А = б^2Т dt, и
ЗАМЕЧАНИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К НАЧАЛУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 397
которая равна разности
г"+", t,
J 2(T + d1T)dt-\2Tdt,
где tx + btx есть время, когда точки (ц, /л',...) будут в (у, гъ...) и t2
+ dta - время, когда они придут в (va, v'2, ...). Пренебрегая бесконечно
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed