Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
da da
легко проверить многими способами, что их интегралы сводятся к уравнениям
(67).
11. Покажем на нескольких примерах применение выводов п. 9 [ш]. Для
этого примем на протяжении п. 11, что функция V не содержит времени t.
Будем теперь придавать V, различные формы относительно переменных х.
В качестве первого примера предположим, что V содержит лишь одну
неизвестную х и притом будет относительно х функцией первого порядка.
Тогда мы получим
? dV * ~ dx7'
и дифференциальными уравнениями проблемы изопериметров будут уравнения
л. d& , . d(c)
d? = ~-r-dt, dx= --Tz- dt. dx ds
Решение их полностью зависит от двух интегралов, из которых один
представляет собой интеграл живых сил
V-fx' + Л.
dx'
С помощью этого интеграла и соотношения ? = найдем ? и х' как функции
х и h.
Если подставить эти функции вместо |ихв интеграл, получим, очевидно,
тождество. Дифференцируя его по постоянной h, получим другое тождество :
х' = 1.
или
df
dh
В действительности это последнее уравнение не есть тождество. Это
происходит потому, что замена ? и х' на ? и х' является только кажущейся.
Но мы получим действительно тождество, если заменим ? и х' их выражениями
через х и h. Умножая на dt, получим
л* df .
dt=Wdx>
364
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
откуда
l + ? = lk\tdx.
Это второй и последний интеграл дифференциальных уравнений нашей
проблемы. Он находится простой квадратурой, потому что не содержит
никаких переменных, кроме I. Величина е здесь играет роль произвольной
постоянной.
В качестве второго примера предположим, что функция будет второго
порядка относительно неизвестной х. Тогда, обозначая = ?lt V -
- fx' - х" и исключая х" из этих соотношений, получим в качестве
дифференциальных уравнений проблемы четыре следующих уравнения :
d^^rdt, dx' = --^dt.
Их полное решение дается четырьмя интегралами, один из которых есть
интеграл живых сил
0 + ft = O.
Предположим, что каким-то способом найден еще один интеграл
/ = о
с новой произвольной постоянной а. Буква / обозначает функцию переменных
х, х', I, и] двух постоянных h и а. Выражая с помощью двух интегралов
0 + h = O, / = О
величины | и через переменные х, х', мы получим формулы
I = fonct (х, х', ft, a) = fonct (х, х', ft, а),
которые полностью заменяют предыдущие интегралы и сами могут
рассматриваться как интегралы нашей проблемы. Если их продифференцировать
по времени, то получим
Если отсюда с помощью уравнений проблемы исключить дифференциалы dx, dx',
d$, d$lt то получим тождества
п = ЛЭ Л_ . d(r) df, . d(r) d(r) df . d(r) df,
dx df dx df, dx' ' dx' df dx df, dx'
С другой стороны, интеграл
0 + ft = O,
если в нем заменить | и их выражениями через х, х', ft, а, также
превратится в тождество. Дифференцируя его как по х и х', так и по ft и
а, получим еще четыре тождества :
О - J*(r) _L - --I- - -^L П - - 4- - - 4- -
dx df dx + df, dx ' dx' + d| dx' + df," dx7 '
0 _ 1 I d(c) df d(c) dfi n _ d& df d(c) df,
+ d? dti + d?x dli ' df da + dfi da '
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 365
Сравнивая первые два с двумя полученными ранее тождествами, получим
тождественно
dl = dSx dx' dx '
Это доказывает нам, что переменные I и ^ можно рассматривать как частные
производные одной и той же функции по х и х'. Обозначая эту функцию
буквой R, можем написать
t_dR_ t __ dR * - dx ' " dx'
и, следовательно,
/? = J(fdx + ftdx').
Установив это, умножим два оставшихся тождества на dt и заменим в
d& ,, " d& jj-a/ и -тг-es d|x
них соответственно 4f-df и ~ dt на - й и - dx'. Тогда получим следую
щие уравнения:
d/z "л "и d/z da 1 da
dt = 4dx + ^dx', 0 = -^-dx + ^-dx',
dt d*R dx I ** dr' 0 - d2/? dx I d2/? dx-
W/, Hh "X > " /f-и Hn I Wv yf/i
т. e
dx dh UA ^ dx' d/z "A ' u dx da "л "T" dx da или
,. j dtf _ , dtf.
dt = dHK' 0 = d^>
интегрируя, получим
, , dtf , d/?
I *4" ? - ~jT~ . Ct - .-¦ .
1 dli ' da
Таким образом мы нашли два оставшихся интеграла интересующей нас задачи с
произвольными постоянными е и а.
Мы видим, что рассмотренный нами , случай зависит от единственного
интеграла
/ = 0,
так как три другие находятся по нашей теории или непосредственно или
путем квадратур.
Предположим теперь, что функция V содержит две неизвестные и является
функцией первого порядка относительно обеих. Обозначая зти переменные во
избежание нумерации буквами х и у, рассмотрим случай
V = fonct (х, у, х', у').
Положим
и исключим х' и у'. Мы получим уравнение, из которого можно определить 0
как функцию х, у, ?, г\. С помощью функции 0 образуем четыре
дифференциальных уравнения :
dS = ^dt; dx = - -¦ dt;
, d& ,, , d& ..
dv = wdt; dy = &j~
366
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Это и есть уравнения проблемы.
Для полного решения надо найти четыре интеграла. Результатом одного
интегрирования является уравнение живых сил :
(c) + /г = 0.
Предположим, что каким-то особым способом мы нашли еще один интеграл
/ = О
с произвольной постоянной а. Тогда оставшиеся два интеграла легко найти
следующим способом.
Представим себе, что мы привели, интегралы
