Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
<9 + Л = 0
по всем входящим в него величинам. Так, предполагая, как было сделано
выше, что ? являются функциями х и произвольных постоянных, мы убедимся,
что последнее уравнение обратится в тождество относительно х и
произвольных постоянных. Поэтому при всех индексах г, к, г мы получим
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 357
из него тождественно
-^+1=0, = о, = О,
dh ' dar ' dxf-'p '
или, опять тождественно,
i=m к=п- 1
fc=o d^k dh
^(tm)к=п~' j^dh^ n 2 ,2 d$i,k dar '
= 1 fc = 0 '=mfc'=n-l d@ dh,k, d@
? j?0 dii'S + ^~u'
(62)
Умножая два первых уравнения на dt и заменяя dt на - dxp1 получим
i = m fc=n-l
г=1 &=о
i = m к=п-1
d?i,k
° = 2 2
i=1 fc=0 r
(57)
(58)
Последние уравнения не являются более тождествами. Они полностью заменяют
формулы
Их(к) _ М
а 1 dti,ka'
которые вместе с тождественными результатами служили нам для получения
вышеупомянутых уравнений.
Мы имеем еще тождество
d&
f'=m 0 d@ dh, k, _
l2l d?i',k' dxfp "T" dXt,k
Подставляя в уравнение
,? _ dS J,
^•k ~ dxtp dt
вместо ?iik их выражения через x и произвольные постоянные, получим
i'-m кГ-п-1 d( d@
а если заменить еще dxft(r) на
d&
rtrr
dt, то получим тождественно
d(r)
i'=m 1 d(r) dki,к Следовательно, формула, которая нас интересует,
превратится в
°~ 2 2 di.,k, dx(p + dx(k)
358
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
или, что то же самое, в
i=m к=п-1
° = 2 2
ив
i = 1 / =0 ^Uk
dh,k
dx^P t/x(r) I '
(61)
Этот результат, будучи комбинацией двух тождеств, сам является
тождеством.
Два способа, которые мы употребили для получения формул (57), (58) и
(61), отличаются только тем, что в первом случае мы варьируем
одновременно все независимые величины, как х, так и произвольные
постоянные, тогда как во втором варьировали их последовательно одну за
другой в отдельности.
После получения тп интегралов
А = 0, /2 = 0, ..., fmn = О
остается проинтегрировать еще уравнения
dx(lp = f(r) dt
1 d?i,k
или заменяющие их уравнения (57) и (58).
Эти последние немедленно интегрируются, если найденные значения f делают
интегрируемой форму
I - т к = п - 1 i=l fc=0
Действительно, обозначая через R интеграл этого выражения, мы получим
dR
кк =
dx(p '
где R - функция тп величин х и тп произвольных постоянных Л и а. Поэтому
вследствие формул (57) и (58) получим
. dR " , dR
dt = d-n~, 0 = а -, -, dh ' dar '
т. е. мы пришли к интегралам (50).
Кроме того, допуская, что выражение
1 = т к = п-1
2 2 kkd*(P
i=l к=О
интегрируемо при найденных выражениях ?, получим немедленно интегрирующие
множители для дифференциальных уравнений
dx(k) = -- dt ' dHi,k '
единственных, которые мы должны решить. Эти интегрирующие множители суть
соответственно
d?i,k dHi,k
dh dar '
где г принимает любое возможное значение. Действительно, последовательно
умножив на соответствующие множители наши дифференциальные урав-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 359
нения и сложив их, получим
'5? k-nyX^iAdxm = _ dt^ k=ny'j(r)_dkk_
т dh ' й Л "" '
i=m fc=n-l /t i=m к=п-\ jt., j/si
2 2^d*'=dt2 2i?w;.
/=1 h=0 i=l fc=0
или, в силу двух первых формул (62) и потому, что
i = m к=п-1
~~dh "л ' " dh
i - m к=п-1 ,?
'У' wx(ff) - И -
^ ^2 tf/i ' dh '
1 = 1 /,=п-1
получим окончательно
2hk x(k) = ddR
п ГГо ^ ^ '
dt = d ~, О = dd^.
da dar
Последнее уравнение справедливо для всех значений г.
К аналогичным результатам мы придем и в том случае, если предположим, что
с помощью тп интегралов
/х = о, /2 = 0, ..., fmn = О
величины х определены как функции f и произвольных постоянных, или часть
х и часть f определены как функции оставшихся переменных и произвольных
постоянных. Читатель может сам получить этот результат.
10. Если найденные значения f не делают интегрируемым выражение
t = m к=п-1
2 2 kkdW,
1=1 к=0
то уравнения (57) и (58) не интегрируются непосредственно, и для их
решения нужно искать особые методы. Но нам вовсе не нужно искать все их
интегралы. Достаточно найти лишь столько, чтобы выражение
i=m к=п- 1
2 2 ti,kdxf i = l fc=0
было интегрируемым при выполнении между величинами х соотношений,
установленных найденными интегралами.
Ясно, что рассмотренный нами случай сводится к предположению, что найдено
более чем тп интегралов уравнений (14), так что не только ?, но и
некоторые из х выражаются через оставшиеся, и далее, что при условии
исключения из выражения
1 = m к=п-1
2 2
1=1 h=0
всех зависимых переменных последнее становится полным дифференциалом. Мы
здесь говорим о зависимости и независимости лишь относительно
соотношений, устанавливаемых найденными интегралами.
Для большей симметрии и удобства предположим, что мы выразили все
переменные ? и х через другие величины С2>..., и через произвольные
360
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
постоянные, заключающиеся в найденных интегралах. Величины х и ? должны
удовлетворять тождественно соотношениям, устанавливаемым интегралами, при
любых переменных С. Число этих последних вместе с числом интегралов
должно быть-равно 2тп, так что х и ?, найденные из наших соотношений,
