Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
i = l /t=0 aX' i = 1 J i-1 0
Первый член этого уравнения не только стал интегрируемым, но его даже
342
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
можно исключить, положив
doj(p - dx[k).
Действительно, при этом предположении окажется
i=mk=2n - \ j/s, i=mk=2n-\ и1г.
2 2 -щ,'^' = 2 2 ?й = *в = о-
i=l к=0 ил1 i=l к=о '
Затем уравнение (5) в вилу того же предположения превратится в
i=m к=п г i=m
2 2 dx<k) = 2 dx<k) +dT.
= 1 к=О
откуда, вследствие
получаем
I- III It
х1 х = dV
t=1 fc=0
? S{dx, = dV-dT = d& = 0.
i = 1
i=m k=2n-2
Мы имеем, следовательно, искомый интеграл ^ ?i,kx<ik+1)= const.
i=l fc=0
Это есть интеграл живых сил для уравнений, которые относятся к
относительным минимальным значениям интеграла J V dt или, точнее, к
интегрируемости Вариации б (V dt), в предположении, что
<5(0 + /i) = 0.
7. Возвратимся к уравнению
п i=т к=п- 1
a \Vdt = const + v dt + ? 2 ^,к8т(к)-
J 1=1 к=о
Его первый член заключает в себе двойную операцию, обозначенную
символом б J, произвести которую невозможно. Действительно, могут
представиться две возможности : уравнения (9) или (14) либо выполнены,
либо не выполнены. Во втором случае невозможно интегрирование, так как V
dt не есть полный дифференциал. В первом же случае эту функцию можно
сделать интегрируемой и даже можно исключить из нее все переменные, кроме
t. Но, выполнив интегрирование J У dt, мы не сможем взять от него
вариацию, а производя первую из операций б J, не сможем произвести
вторую.
Если изменить порядок символов б и j" и искать сначала 6(Vdf), то придем,
согласно предположению о переменных х, к одной из формул (4) или (7). При
произвольных предположениях придем к первой формуле, а при предположении
(9) - ко второй. Затем, интегрируя, придем к формуле (21) или к формуле
i - m к - п г i = m
8(vdt) = const + V dt + 2 2 + \dt 2 Si 8m'- (30)
i = l fc=0 J i = l
Но обе эти формулы, каждая при своем предположении, служат лишь для
определения интеграла j6(Ed/) и не приводят ни к какому другому
результату. Имея это в виду, условимся писать символы б и J в порядке б
J.
Рассмотрим вариацию б J V dt саму по себе, т. е. независимо от всего
предшествовавшего.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 343
Если в ней заменить функции х их выражениями через t, то V превратится в
определенную функцию той же переменной t. Такой же определенной функцией
с точностью до произвольной постоянной будет интеграл J V dt, но тогда
невозможно будет найти вариацию б J V dt. Действительно, величины х после
подстановки бесследно исчезнут из интеграла I V dt и будет невозможно
установить вариации бх. Это было бы равносильно попытке найти изменение
функции, зная только значение, которое она принимает при замене
переменной определенным числом. Если воздержаться от варьирования t, что
приводит к предположению, что
что ни к чему не приводит.
Но дифференциал V dt может стать интегрируемым и без полного определения
вида функции х от t. Ограничим эти функции лишь настолько, чтобы V dt
стало интегрируемым ; для этого каждая из них должна принимать
бесконечное множество различных значений и изменяться без того, чтобы
менялось время. Предположим, что х принимают соответствующие значения,
выбранные из тех, о которых только что шла речь. Обозначим интеграл J V
dt буквою S. Тогда формула (30) примет вид
Таким образом, если продолжать рассматривать бх как совершенно
произвольные, то будет невозможно отыскать вариацию интеграла S, который
окажется вполне определенным вместе с функциями х. Следовательно, формула
(31) не приведет ни к какому результату. Но если мы придадим бх такие
значения, при которых величины х 4- бх совпадут с величинами, играющими
роль х в V dt, то последний дифференциал станет интегрируемым. Тогда
вариация &S найдется по обычным правилам дифференциального исчисления и
формула (31) дает важные следствия. Само собой разумеется, что бю,
входящие в эту формулу, должны быть подчинены ограничениям, наложенным на
бх.
Чтобы показать применение формул (31), предположим, что переменные х
удовлетворяют условиям (9) или (14). Это предположение превратит
переменные х в функции времени, не вполне определенные, так как они
заключают 2пт произвольных постоянных, введенных при интегрировании.
Варьируя эти постоянные, мы можем, не изменяя времени, бесконечным
множеством способов варьировать каждую из переменных х. В вариации бх,
вызванной изменением произвольных постоянных и времени вместе, часть x'&t
будет отвечать изменению времени, а часть бсо - изменению произвольных
постоянных.
Таким образом, обозначая эти постоянные через av а2, а3,..., а2пт,
получим
то формула (30) дает тождественно
б J Vdt = const + Vdt,
SS = const + V 6f + E( бсо,. (31)
и вообще
Буква г обозначает номер, меняющийся от 1 до 2пт включительно.
344
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Найденные из уравнений (14) или (9) значения х будут функциями времени и
постоянных а; они превратят V в функцию времени и тех же постоянных. Мы
