Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 156

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 461 >> Следующая

1 до 2пт мы будем считать не содержащимися в S.
Тогда получим
dS dS ' (IS dx<?
ml
= 1 fc=0
dar dar ^ ^ dx(r) dar
n> " dS
так как индекс г не превосходит тп. В производнои-j-, которая
представляет
ааг
собой первое слагаемое, варьируются все члены, зависящие от а. Во втором
слагаемом аналогичная производная не берется по аг. Предыдущее уравнение
должно быть заменено уравнением
dS _ к="-* dS dx(r)
Ип dx№ da 5
uur *• = ! 1 r
если r > mn.
Подставляя полученное значение в формулу (36), мы получим
i - m к-п~ 1
dS
dx
к=О I
dx(r)
ds * , ds const + 22 \Stjc
dar dx(r)
(39)
0 = const +2 2
если r > mn и
a.c ( ric av((f'
(40)
dar |l'k dx(r) j dar
если r < mn.
Можно всегда ввести в S систему тп произвольных постоянных, выбранных
таким образом, чтобы неизвестные ?ik были представлены соответст-
dS
венно частными производными • Для этого достаточно взять за постоянные, о
которых идет речь, значения величин х в точке, относящейся к началу
интеграла S.
Чтобы доказать это, рассмотрим формулу
i=mк=п-1
3S = const + Vdt+ У У St.kfaW, (32)
fc =О
в которую входит, кроме вариации 8t, тп дифференциалов 8со и все те,
которые входят в постоянную, обозначенную const, и в 8S. Следует так
преобразовать эту формулу, чтобы она содержала только произвольные и
независимые друг от друга дифференциалы, чтобы можно было приравнять
соответствую-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 347
щие коэффициенты левой и правой части. Чтобы сделать это преобразование,
надо принять во внимание дифференциалы, содержащиеся в const и в 5S,
фиксировав начальное значение интеграла
S = j Vdt.
Обозначим через т начальное значение /, где т может быть нулем или другим
определенным числом.
Мы получим
S = j'Vdt, (41.)

откуда при помощи принципов вариационного исчисления определим S как
функцию / и т, х и тп постоянных а
i = т к = п- 1 jq г=т-пП jq
ds=vdt-v0dt + 2 2 2 wSa'-'
i=1 к=0 i /=I г
где VQ является значением V при t = т. Но, с другой стороны, имеем
jo ло i = m /с = п - 1 jq r^tr.n
as = + - 4т 4- v v о- v "А .
dl dr ё ёо dxV гг,
Сравнивая, получим
" -1'. (33)
? - - ^ • <42>
dS dS
причем в производных и - варьируются все члены, зависящие от t и т.
Правая часть формулы (32) обращается в нуль при t = т
; это свойство служит для определения постоянной. Обозначив
через аик и а\к) начальные
значения ?i>k и хр, получим
/ = т к = п- 1
const = - V0dt - ^ а^.даф.
г=1 к=0
Здесь мы варьируем величину т, предполагая, что полная вариация я(М имеет
вид
а(к+1) Ьх -р Ьа(к).
Подставляя значение 6S и const в формулу (32), получим
i = m к = п- 1 jq k-mn jq / = т /< = п - 1
i = l fc -О г=1 1 = 1 к = 0
Теперь, чтобы приравнять коэффициенты при вариациях, которые содержит
формула (32), надо свести эти вариации к наименьшему возможному числу,
так как, не сделав этого, мы придем к неправильным результатам. Так,
например, если, оставив постоянную аг любой, сравнить коэффициенты при
dmf), предполагая
е _ as
~dx< f) '
то получим неточное уравнение.
348
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
Проще всего исключить из нашей формулы все излишние дифференциалы,,
мешающие нам сравнивать коэффициенты при других дифференциалах. Можно
предположить, что произвольные постоянные аг - единственные величины,
оставленные произвольными в нашей формуле - соответствуют начальным
значениям х, которые мы обозначим через а/к). Таким образом,, мы получим
г-тп jo i=mfc=n-1 Л
2^=2 2 J>"?>
= 1 uur i = 1 fc=0 '
и, следовательно,
i-mk-n-1 / jc ис \ к=п- 1
i=l
1=1 fc=0
Это уравнение содержит только 2п/п дифференциалов 6, из которых именно-
дифференциалы постоянных af\ введенные при помощи интегрирования,,
совершенно произвольны.
Другие бсо также могут считаться произвольными, так как они получены
произвольным дифференцированием 2тп постоянных интегрирования. Как
следствие, мы получим уравнения :
и dS
'•к ~ Ас(r) 1
as _ _
daW ~
(43>
которые являются интегралами дифференциальных уравнений (14), написанными
в очень удобной форме. Но чтобы их можно было употреблять, нужно найти
функцию S и представить ее в той форме, которую мы ей только что придали,
что требует интегрирования уравнений (14) и соответствующих
преобразований. Следовательно, интегралы уравнений (14) в форме (43)
могут быть получены только после того, как уравнения (14) будут
проинтегрированы в какой-нибудь другой форме. Это обстоятельство
уменьшает значение уравнений (43). Но они приводят к другим интересным
результатам. Так, можно показать, что неизвестные ? могут быть
представлены как частные производные одной и той же функции S. Используя
это обстоятельство,, мы можем найти интегралы уравнений (14) в форме
(43), зная только часть этих интегралов в какой-нибудь другой форме.
8. Рассмотрим уравнение
f- = v, (33)
которое имеет место, каковы бы ни были постоянные и переменные, входящие
в S. Предполагая, что S содержит только переменные t и х, мы получим
i(r). _ i(r). 4-' v '"v 1 - rk+i
dt ~ dt dx(pXi '
Предыдущая << 1 .. 150 151 152 153 154 155 < 156 > 157 158 159 160 161 162 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed