Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 157

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 461 >> Следующая

^ dS
где в производной в первом слагаемом варьируются только те члены, в
которые / входит явно.
Следовательно,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 349
Если мы предположим еще, что 5 содержит только тп постоянных, которые
являются начальными значениями переменных х, то мы можем заменить d.S
производную величиной ?ик. Эта замена дает нам
i=mk=n-1 wc ¦у _ v(*+l) = Т
<2 dyf.k) Х I 1
1 = 1 к = 0 '
и, следовательно,
ft- = e. (44)
Если из m + 1 уравнений
dV _ t dV _ t dV _ t
dxf ~ l'n~l ' dxW ~ *2n~l ' • ' - ' dx<^ ~
и из уравнения
6 - V - T
мы исключим m производных х)п), х(2п>,..., х("\ то получим соотношение
между временем t и неизвестными х, f и функцией 0. Заменяя в этом
соотношении f на соответствующие частные производные 5, а именно fна ,
и подставив вместо 0, мы придем к соотношению
ц> - 0 (45)
между временем t, неизвестными х и частными производными функции 5. Сама
функция 5 в соотношение не входит. Отсюда следует, что если какое-нибудь
значение 5 удовлетворяет уравнению <р = 0, то этому уравнению будет
удовлетворять также это значение, увеличенное на произвольную постоянную.
Это является следствием того, что 5 представляет собой интеграл и должно
содержать произвольную постоянную аддитивно. Функция 5 обращается в нуль
при t = т, что определяет произвольную постоянную, но это обстоятельство
не указано в уравнении (45).
Заметим, что если дифференциальное уравнение типа (45) обращается в нуль
при условии 5 = 0 для / = т, то функция 5 вполне определена. Но этого нет
в нашем случае, так как х является не независимой переменной, а функцией
времени, и условие 5 = 0 при / = т имеет место не для всех значений х, а
только Для их начальных значений.
Вместо уравнения (45) мы будем рассматривать уравнение (44), заменив
значения ?, полученные из 0, частными производными функции 5.
Предположим, что функция 0 не зависит от х(п> и имеет тот же вид, что и в
уравнениях (14). Таким образом, уравнение (44), как и (45), является
соотношением между переменной t, х и частными производными от 5. Функция
S в это соотношение не входит. Очевидно, что уравнение (44) сводится к
уравнению (45), если разрешить его относительно . Если функция 5
удовлетворяет уравнению (44) или (45), то она может иметь бесконечное
множество различных форм. Следует заметить, что любое значение функции S,
удовлетворяющее уравнению (44), удовлетворяет формулам (14), если
положить
t _ dS "i.fc - dx(k) "
(46)
350
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
где i и к принимают все возможные значения. Продифференцируем по t
значение S из формулы (46), варьируя все члены, зависящие от t. Мы
получим.
d2S r=m d2S . <к~.
f'¦* " [dt rfx(r) + dxfp dx%)
и, подставляя в уравнения (14), получим :
=_______-- dt = d3,s I- ' V k "V * - d2S- x'f^'+D
aSitk ' 'rfx(r) "dxtp + k-e, d*p x'
или
^ = _de , ^ 1 dQ dt
dtdx^ ft(f) f-" dgt,'k, dxM dx^P ' ' dSi>k
При этом мы предполагаем, что ?, содержащиеся в 0, заменены до
дифференцирования на соответствующие производные S.
Из формулы (46) вытекает, что только что написанные уравнения справедливы
при любом S. Но следует напомнить, что S удовлетворяет уравнению (44),
каковы бы ни были х и t. Дифференцируя это уравнение по х\к\. мы получим
тождественно
d2S _ dQ |V^fc,=^71 d@ d*S________
dt dx(k> dx(k> k-"0 [dx(k> dx(k,'''
Так как первое из уравнений, заменяющих формулы (14), обращается в
тождество, наши формулы приводятся к виду
<47>
и, следовательно, вместо 2тп уравнений, заключающих 2тп неизвестных х и
?, мы приходим к тп уравнениям, содержащим лишь неизвестные х.
Дифференцируя уравнение (44) по х\к\ напишем для удобства
d@
вместо - .
rf- dS
dxff/'*
Мы подразумеваем, что в функции 0 уравнения (44) неизвестные ? заменены
частными производными от S.
Интегрируя уравнения (46), получаем значения, которые вместе с формулой
(46) удовлетворяют уравнениям (14). Но, действуя таким образом, мы
получаем только частные интегралы уравнений, так как функция S не
содержит достаточного числа постоянных.
Мы показали раньше, что функция S содержит аддитивно одну произвольную
постоянную, что следует из природы уравнений (44) или (45), которым S
удовлетворяет. Но из уравнения (44), записанного в частных производных,
видно, что S может содержать и другие произвольные постоянные. Чтобы
получить полный интеграл уравнений (14), достаточно, чтобы число
произвольных постоянных, входящих в ?, было не менее чем тп.
Действительно, интегралы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 351
содержащие тп произвольных постоянных, и интегралы уравнений
<47>
содержащие остальные произвольные постоянные, удовлетворяют уравнениям
(14), и мы получаем, таким образом, полный интеграл этих уравнений.
Остается найти интегралы уравнений (47). Функция S, удовлетворяющая
уравнению (44), содержит некоторое количество произвольных постоянных,
каждая из которых дает интеграл уравнений (47).
Действительно, обозначая через а одну из наших постоянных, мы получим
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed