Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 155

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 461 >> Следующая

найдем интеграл
J Vdt = S
простым интегрированием по t. Подставляя это значение S в формулу (31) и
принимая во внимание, что наши х обратят в нуль величины Sh получим
i=mk=n- 1
dS = const + Vdt + 2 2 (32)
; = i fc=o
dS ds
или, вследствие того, что
ss = ^-6t+ у
r=i найдем
jr. r=2nm l = m ft=n-1
dT at + 2 i- dar =const + Vdt+ 2 2 8a^ •
i-=l UUr i=l fc=0
Так как дсо не содержат 6/, то из этого уравнения сначала находим
V = -f, (33)
а затем -
I =2пт jq i = m к=тг-\
2 ~~ даг = const +v ^ (34)
1"1 * = 1 к=О
r=2nm ^ (к)
Заменив здесь бсо(r) их значениями у * даг, получим
?=i
r=2nm f = m ft=n-l r-=2nm
2 f-ddr = const+V ^ 2 ^^-8аг- (35>
S <П лГо ГГ, dar
Так, как Sa произвольны, то предыдущие уравнения распадаются на следующие
:
число их (по числу значений г) равно 2пт.
Уравнения, заключенные в формуле (36), устанавливают соотношения между
величинами $, произвольными постоянными и временем. Следовательно, они
могут служить интегралами уравнений (14). Но хотя число их равно числу
уравнений, они не представляют все интегралы. Действительног хотя они
включают тп неизвестных |, они могут дать только значения этих
неизвестных, а никак не значения х, которых они не содержат.
Они представляют, следовательно, лишь тп, т. е. половину всех интегралов.
После исключения величин f они дадут тождества или соотношения между
произвольными постоянными, введенными интегрированием, и величиной const
в уравнении (35). Формула (33) может также рассматриваться как интеграл
уравнений (14) или (9). Интегралы этих уравнений устанавливают 2пт
соотношений между временем t, 4пт величинами х, ?, а именно : тп величин
х, тп величин f и 2пт произвольных постоянных а. Обозначим эти
соотношения через
Fs = 0, (37)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИЗОПЕРИМЕТРОВ 345,
г^е Fs - функция всех упомянутых Апт 1 величин, a s меняется от 1 да 2пт
включительно.
Функцию S можно представить многими различными способами. Действительно,
после того как мы с помощью уравнений (14) сделаем дифференциал V dt
интегрируемым по t и произведем интегрирование, то получим
S = § V dt
как функцию некоторых из величин t, х, $ и а. Действительно, после того
как V dt станет интегрируемым, вовсе не обязательно, что оно будет
содержать t и а. Но каков бы ни был вид полученного интеграла S, в него
можно сразу ввести с помощью соотношений (37) 2тп -f- 1 величин,
выбранных по произволу среди Апт 1 величин /, х, ? и а. Вследствие
произвола этого выбора и произвольности а мы будем далеки от того, чтобы
получить определенную систему 2тп величин, а получим, наоборот, систему
бесконечно разнообразную. Поэтому функция S и имеет неограниченное
множество представлений.
Вообразим себе какое-нибудь из этих представлений. Исходя из формулы (32)
и употребляя метод неопределенных множителей, мы найдем общее соотношение
i=mk=n- 1 s=2mn
<5S = const + Vdt+ 2 2 2 <38>
1=1 k=0 s=1
где вариация dFs относится ко всем величинам, входящим в Fs, так
что
i = m к=п-\ dFs df,s
("1 fc=o
2пт dFs
*f, = 1?* + 2 2 +
i - l
dFs
Производная -^- учитывает изменение всего, что меняется в Fs вместе со
временем. Так как при последнем предположении уравнение
Fs = 0 (37 >
необходимо влечет
^ О
dt
то мы можем освободить себя от варьирования t в дифференциале dFs.
Формула (38) вследствие неопределенности множителей Д не предполагает
какого-либо соотношения между дифференциалами 5t, дт, дт, да и должна
иметь место независимо от этих дифференциалов.
Формула (38) распадется на Amn -f- 1 уравнений, которые, как и в формуле
(37), будут представлять интегралы дифференциальных уравнений (14). Среди
этих интегралов мы всегда будем иметь соотношение
dS = V, (33)
dt
каков бы ни был вид выражения S и если в производной-^- варьируются
все члены, зависящие от времени.
Вместо того чтобы применять метод неопределенных множителей, мы можем из
2пт уравнений
dFs = 0,
:346
М. В. ОСТРОГРАДСКИЙ
определить 2тп вариаций 8mik, 8аг через 2тп других, так как их имеется
всего 4тп. Затем эти вариации, как совершенно произвольные, введем в
формулу (32) и, перенеся все члены в одну сторону, приравняем нулю все
коэффициенты в отдельности. Это даст нам еще 2тп уравнений, кроме
уравнений (33). Все это позволит оставить в формуле (32) произвольными
лишь вариации 8а,.
Введем в функцию S время t, тп переменных хи тп постоянных а, принимая их
за полное число 2пт постоянных. Мы получим достаточно частный вид функции
S, но однозначный и определенный.
Величины а выбираются произвольно и, как мы только что говорили,
представляют все различные системы произвольных постоянных для интегралов
уравнений (14). Функция S будет окончательно определена, когда будут
фиксированы пределы интеграла f V dt, который она представляет, и точно
определена система постоянных'а и переменных х, входящих в S.
Не фиксируя сначала систему постоянных а, мы предположим, что в S будут
входить только тп постоянных. Остальные же величины а с номерами от тп +
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 159 160 161 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed