Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
dF dG \
V • (1.2.27)
rsinflVdfl dtp dp dO /
1 (dF dG
{F(0, p), G(6, ^)) = --------1---------
Здесь дсi = rsin6cos<?, x2 ется уравнением
Э H
dx .
г sin в sin р, дс3 = rcosO. Динамика в М зада-
(1.2.28)
Отметим, что для случая квадратичного гамильтониана 1
Н
2 ajX2
(1.2.29)
эти уравнения переходят в уравнения Эйлера, описывающие вращение свободно
га твердого тела вокруг неподвижной точки.
5. Пусть М = - пространство, дуальное алгебре Ли группы Е (3) -
группы движений трехмерного евклидова пространства, М = {(дс, у): х = =
(Х1,Х2,Х3), У=(УиУ2,Уз))-
Пуассонова структура задается формулами
{х/, хк) = ejk,xb {дс/, ук) = е!к1уь {у,,ук} =0. (1.2.30)
Или, в более явном виде,
' dF dG
f г dF dG 1\
{ F(x, y), G(x, y)} = (дс, - , - )
\ к Эдс Эдс j /
( dF 3G \ ( ' dF 3G
- У [у,
. дх Эу. - ty Эх .
(1.2.31)
Эта пуассонова структура вырождена и становится невырожденной на орбитах
коприсоединенного представления
Оа,ь = {(х, у): IУ I2 = а2, (дс, у) = ab} , а > 0. (1.2.32)
Уравнения динамики в М имеют вид
awl Г aw'
Ш
У = У, - •
(1.2.33)
' Эх J L ЭуГ L ' Эх.'
Отметим, что для случая квадратичного гамильтониана
(1.2.34)
эти уравнения совпадают с уравнениями Кирхгофа, описывающими движение
твердого тела в идеальной жидкости.
В заключение этого раздела приведем краткий исторический комментарий.
Общая теория скобок Пуассона (так же, как и ряд других важных понятий
гамильтоновой механики) была развита в локальной форме Софусом Ли (см.
[54-57, 307]; там же можно найти и случай линейной зависимости со/к (х)
от х). Выражение для линейной скобки Пуассона (1.2.12) было переоткрыто
Березиным в 1967 г. [69]. На ином языке, языке симплектических
многообразий, оно встречалось также в работах Кириллова и Костанта по
геометрическому квантованию (см.
[17, 79]). Скобки Пуассона с более сложной зависимостью со^к(х) от х в
настоящее время только начинают изучаться. По-видимому, первый пример
таких скобок с квадратичной зависимостью от х был найден в работе [105].
Дальнейшее развитие теории скобок Пуассона осуществлено в работе [76].
1.3. Симплектические многообразия
В этом разделе будет рассмотрен важный класс фазовых пространств, для
которых тензор со,к(х) не вырожден. Такие многообразия обладают рядом
специфических свойств и называются симплекшческими многообразиями.
Определение. Симплектическим многообразием (М, со) называется гладкое
многообразие М, на котором задана замкнутая невы-рожденная
дифференциальная 2-форма со. В локальных координатах х1 имеем
Условие невырожденности означает, что det (co/fc(x)) Ф 0 во всех точках
многообразия М, следовательно, существует обратная к со;-к(х)
(кососимметричная) матрица со/к(х). Поэтому многообразие М должно быть
четно мерно.
Условие замкнутости формы (dсо = 0) в локальных координатах имеет вид
Оно эквивалентно условию (1.2.9) для тензора со,к; так что мы можем
определить пуассонову структуру формулой (1.2.7) или же как
со = cojk (x)dx1 A dxk.
(1.3.1)
9fcCo,j- + 9,co/Jt + Э/cojtj = 0, Э; = Э/Эх7.
(1.3.2)
iF, G) - co(Ar/r, Xq).
(1.3.3)
17
Отметим, что все симплектические многообразия локально устроены
одинаково. Точную формулировку этого утверждения дает
Теорема Д арбу [155,1] *). Пусть х - произвольная точка сим-плектического
моногообразия (М, со). Тогда в некоторой окрестности х можно выбрать
такую систему локальных координат (р\,...,'рп, Q1, • • •. q"), что форма
со примет стандартный вид
со = 2 dpj A dq1. (1.3.4)
/= 1
С помощью этой теоремы можно распространить на все симплектические
многообразия любое утверждение локального характера, инвариантное
относительно симплектических преобразований и доказанное для стан-
п
дартного фазового пространства {М = [R2", со = 2 dp, A dq1). В ча-
/= 1
стности, отсюда сразу же следует, что любые два симплектических
многообразия одинаковой размерности локально симплектически изоморфны
друг другу. Относительно геометрии симплектических пространств см.,
например, [1, 3, 9, 40, 66]. Заметим, что общее пуассоново многообразие е
вырожденной пуассоновой структурой со7* расслаивается на симплектические
подмногообразия, на каждом из которых тензор со7* уже не вырожден (см.
[79, 307]).
Симплектические многообразия обладают специфическими топологическими
свойствами. Отметим лишь одно из них.
Пусть (М, со) - компактное симплектическое многообразие размерности 2п.
Тогда внешняя и-степень формы со - со" является формой объема этого
многообразия, так что класс когомологий де Рама [со"] в Н2п(М, IR), к
которому принадлежит форма со", отличен от нуля. Заметим, что при этом
все степени формы со вплоть до со" должны быть отличны от нуля и,
следовательно, все группы когомологий Н2'(М, IR), / = 1,..., п, должны
быть нетривиальны.
Отметим три больших класса симплектических многообразий.
1. Если N - произвольное многообразие, то кокасательное расслоение T*N,
рассматриваемое как многообразие, несет на себе каноническую
симплектическую структуру со, являющуюся обобщением структуры на
