Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
строго однородным симплектическим многообразием.
Пусть % и т} е 5§, а и Хп - порождаемые ими векторные поля в пространстве
<$*. Тогда симплектическая форма со? на орбите Of определяется условием
Xv) = </,[*, г?]>, (1.4.3)
где </, % > - значение функционала f на элементе % G $. Как уже
отмечалось в предыдущем разделе, пуассонова структура в пространстве
§($') и, в частности, в пространстве ^F(O) дается скобкой Ли-Пуассона
[54-57]
{F(x), G(*)} = CjkXtb'F^G, (1.4.4)
где Cfk - структурные постоянные алгебры Ли $, 3; = bjbxj, Xj -
координаты точки х в пространстве $*. Заметим, что имеется естественное
вложение орбиты в пространство $*, из которого она в случае полупро-стой
группы Ли выделяется набором полиномиальных уравнений *)
Pnj(x) = с/, X е $*, } = 1(1.4.5)
где { Рп. (х) } - набор генераторов алгебры инвариантных полиномов,
причем степень полинома Рп. равна п/, а целые числа (л/ - 1) называются
экспонентами алгебры $. При этом в случае полупростой алгебры Ли 'S
существует невырожденное G-инвариантное скалярное произведение в S§, с
помощью которого можно отождествить пространства $ и .
Примеры
1.G = SO(3) " SU(2) - группа вращений терхмерного пространства, $* $ = {
х: х = (xi,x2, х3)} . Орбиты здесь - двумерные сферы S* = = { х: х2 =г2}
. Начало координат также является орбитой.
2.G - простейшая некомпактная простая группа Ли - группа SU (1, 1) w
SO(2, 1) " SL(2, [R) яв Sp(2, IR); SO(2, 1) - трехмерная группа Лоренца,
- & = {х: х = (х0, х1у х2)},
= х2, {x0,x2} = ~Xi, {хьх2} = -хг0. ,
Орбиты группы G выделяются уравнением х2 = Xq ~ xi - х\ = const и
представляют однополостные гиперболоиды, двухполостные гиперболоиды, два
конуса и начало координат.
*) Следует иметь в виду, что если группа С не компактна, то этими
условиями выделяются лишь регулярные орбиты, т.е. орбиты, проходящие
через регулярные полупростые элементы в У*.
25
3.G = Е(2) - группа движений евклидовой плоскости, = { х: х -= (х0,
*1>*2)} . при ЭТОМ {ЛГ0, -Х2, {*", x2) = -Х\, (*i, *2} = 0. Орбиты
коприсоединенного представления здесь - цилиндры с осью х0. Каждая точка
оси х0 является нульмерной орбитой.
4. G = И7! - группа Гейзенберга-Вейля, {лг: л: = (х0, л:х, х2)} ,
при этом {JCi, лг2} = {*о> *1} = t *0" х2) = 0. Орбитами коприсое-
диненного представления здесь являются плоскости х0 = с, с Ф 0. Каждая
точка плоскости х0 = 0 является нульмерной орбитой.
5- G = { g } = SU(3), g - унитарная матрица третьего порядка с
определителем, равным единице: gg+ - I, det# = 1. Здесь - & =,{ х) -
алгебра (восьмимерная) антиэрмитовых матриц (х+ = -дс) третьего порядка с
нулевым следом. Действие присоединенного представления имеет вид
х -> gxg~l = gxg+ .
В этом случае имеется три типа орбит:
а) шестимерные орбиты 0= SU(3)/U(1) X U(l), отвечающие случаю, когда все
собственные значения матрицы х фиксированы и различны;
б) четырехмерные орбиты 0 = SU(3)/SU(2) X U (1); соответствующие матрицы
х имеют два равных собственных значения. Такие орбиты изоморфны
двумерному комплексному проективному пространству;
в) орбита, отвечающая началу координат.
6. G = SU (п), <9 = {х:х*= -х, tr х = 0 } .
Пусть (п - 1) собственных значений матрицы х совпадают. В этом случае
0= SU(n)/SU(n-l)X U (1),
и орбита О изоморфна пространству (СРп~1. Заметим, что это орбита
минимальной ненулевой размерности в 3 . Отметим также, что для простых
групп Ли все орбиты минимальной ненулевой размерности перечислены и
изучены в работе [315] (см.табл. 1).
7. G = SU (т + п), 'З =(*}, х* = -х, trx = 0.
Пусть собственные значения матрицы х разделены на два набора ютил чисел,
причем собственные значения в каждом из этих наборов совпадают. В этом
случае
0=. SU (т + w)/SU (т) X SU(n)XU(l)
и орбита О изоморфна так называемому комплексному многообразию Грассмана
Gmn.
8. Пусть G - группа вещественных верхних треугольных матриц с
определителем, равным единице. Тогда алгебра Ли 'S состоит из
вещественных верхних треугольных матриц с нулевым следом, а пространство
3* = {х} с помощью скалярного произведения (А, В) = tr (А - В) в алгебре
si (л, IR) можно отождествить с пространством вещественных нижних
26
Таблица 1
G (^min = G/H)
dim <Ут;п H
Ап SU (л +1) 2 n A"_i X U(l)
в" SO (2л + 1) 2(2n - 1) Д"_ i X SO (2)
с" Sp(2n) 2(2n - 1) C"_ i X U(l)
D" SO (2 л) 2(2n-2) Z)"_ 1 X SO (2)
п Ф 2,3
G2 1.9 A, X SO (2)
F* JO С, X SO (2)
Е< 32 Ds X SO (2)
Е7 54 E6 X SO (2)
Е, 114 Е1 X SO (2)
треугольных матриц с tr х = 0. При этом действие группы G на дается
формулой
Ad*(g): (1.4.6)
где знак минус означает, что элементы рассматриваемой матрицы, стоящие
выше главной диагонали, мы заменяем нулями. Например, орбита группы G в
пространстве '&*, проходящая через элемент
°\
/= 1. 0. (1.4.7)
' 'О ) '
состоит из элементов х вида
п
( ъи О, 0
а и Ь2 I, 2 Ъ,= 0. (1.4.8)
02 ' | / = 1
\ • а"_ь bnj
В заключение этого раздела приведем таблицу размерностей орбит копри-
соединенного представления наименьшей положительной размерности для
