Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Переломов А.М. -> "Интегрируемые системы классической механики и алгебры" -> 5

Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.

Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры — М.: Наука, 1990. — 240 c.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemiklassmehaniki1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 88 >> Следующая

условию (1.1.16), называется каноническим. В простейшем случае, когда
матрица А не зависит от х, множество таких матриц образует группу Ли,
называемую вещественной симплектической группой - группой Sp(2", IR)*).
Геометрия фазового пространства, движениями кото-
*) Эта группа впервые рассматривалась Абелем. В XIX веке она обычно
называлась линейной комплексной гр'уппой, поскольку она оставляет
инвариантным определенное семейство (линейный комплекс) прямых. Термин
"симплектическая группа" ввел Г. Вейль [8].'См. по этому поводу статью
[306].
11
рого являются преобразования группы Sp (2п, IR), называется
симплектической геометрией. Она играет важную роль при рассмотрении
гамильтоновых систем [1, 3, 9, 40, 62, 63, 66, 279]. Заметим, что условие
(1.1.16) в терминах симплектической формы со обычно обозначается как
/*со = со (1.1.17)
и ознаает, что преобразование / не меняет со.
В примере, рассмотренном в настоящем разделе, фазовое пространство
являлось евклидовым пространством: М = IR2". Это, однако, не всегда так.
В ряде задач возникает необходимость в рассмотрении фазовых пространств,
являющихся многообразиями. Такие пространства возникают, например, когда
движение системы ограничено некоторыми связями. Так, например, фазовым
пространством для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки,
является кокасательное расслоение группы SO(3) - группы ортогональных
матриц третьего порядка с определителем, равным единице. В ряде случаев
возникают также многообразия, не являющиеся кокасательными расслоениями.
Рассмотрение таких систем необходимо также для ясного понимания структуры
гамильтоновой механики вообще.
1.2. Пуассонова структура и гамильтоновы системы
Уже из простейшего примера было видно, что скобки Пуассона играют важную
роль в гамильтоновой механике. Здесь мы рассмотрим понятие пуассоновой
структуры для систем общего вида. (Относительно использования
нестандартных пуассоновых структур для описания конкретных физических
систем см. обзорные статьи [14, 26].)
Пусть М - многообразие и &(М) - пространство гладких функций на М. Мы
будем говорить, что на М задана пуассонова структура, если задана
операция, сопоставляющая паре функций F(x) и G(x) G &(М) новую функцию {
F(x), G(x)} G &(М), которая линейна по F и G и удовлетворяет условиям :
а) кососимметричность
{F(x),G(x)}= -{G(x),F(x)>, (1.2.1)
б) тождество Якоби
{F{G,H}} + {G{H,F}} + {H{F,G}} =0, (1.2.2)
в) правило Лейбница
{F,GH)={F,G)H +{F,H)G. (1.2.3)
Но равенства (1.2.1) и (1.2.2) - это не что иное, как условия, которым
должны удовлетворять элементы алгебры Ли. Таким образом, пространство
$(М), снабженное скобкой Пуассона {,}, превращается в алгебру Ли
(бесконечномерную!).
Пусть х1 - локальные координаты на М, а Н(х) - гладкая функция на М.
Тогда на М определена динамическая система
х' ={Н,х')= Х'н. (1.2.4)
12
Такая система называется гамильтоновой, а векторное поле Хн = { Х^}~
гамильтоновым векторным полем. Для такой системы имеем
F = {H,F}, (1.2.5)
где F (х) - произвольная гладкая функция на М. Отсюда видно, что
величины, удовлетворяющие условию
{H,F)=0, (1.2.6)
являются величинами сохраняющимися - интегралами движения. .
Заметим, что из тождества Якоби (1.2.2) следует, что скобка Пуассона двух
интегралов движения снова является интегралом движения, так что интегралы
движения тоже образуют алгебру Ли. Из (1.2.3) следует также, что
произведение двух интегралов движения также является интегралом движения.
Алгебра интегралов движения является важной характеристикой гамильтоновой
системы, она тесно связана с наличием у рассматриваемой системы группы
симметрии. Если система обладает достаточно большим числом интегралов
движения, то она является вполне интегрируемой, так что решение уравнений
движения такой системы может быть, в принципе, сведено к вычислению
интегралов - квадратурам. Именно такие системы и представляют для нас
наибольший интерес.
Возвращаясь к пуассоновой структуре, рассмотрим скобки Пуассона вида
{F(x), G(x)} = u>lk(x) d/Fdk G, Э; = Э/Эх'. (1.2.7)
Тогда правило Лейбница (1.2.3) автоматически выполняется, условие (1.2.1)
будет эквивалентно условию
co/k(x) = -cok/(x), (1.2.8)
а условие (1.2.2) примет вид
co/kakco,m + w,kakwm/ + comkak со'¦' = (). (1.2.9)
Уравнения движения (1.2.4) принимают вид
х*=ХЬ = ^\х)дкН, Зк=-(1.2.10)
Эх
а коммутатор двух гамильтоновых векторных полей Хр и Хи дается формулой
[Хр,Х"]=Х{Р'Н}. (1.2.11)
(Подчеркнем, что мы не требуем, чтобы тензор со/к(х), входящий в
определение скобки Пуассона (1.2.7), был невырожден. В частности,
пространство М может быть и нечетномерным.)
Рассмотрим основные типы скобок Пуассона.
1. Простейшим здесь является случай, когда тензор со,к(х) от координаты х
не зависит. Этот случай с помощью линейной замены переменных сводится к
случаю, рассмотренному в предыдущем разделе.
2. Следующий по сложности (и наиболее важный) случай - это случай
линейной зависимости со;к(х) от х (мы предполагаем здесь, что прост-
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed