Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
пространстве IR2" Г*.[Л" [1,40].
2. Любое гладкое комплексное алгебраическое многообразие М, т.е.
многообразие, заданное системой полиномиальных уравнений в комплексном
проективном пространстве (ЕР^, является симплектическим и, более того,
обладает естественной симплектической структурой [1].
Действительно, как хорошо известно, TV-мерное комплексное пространство
СР^ является симплектическим многообразием с канонической 2-формой ?2.
Пусть i: М -* СР^ - вложение комплексного многообразия М в пространство
СР^. Такое отображение индуцирует отображение г* в пространстве форм /*:
Я*(СР^) Н*(М), и мы можем
*) Другой вариант теоремы Дарбу имеется в работе [305 ].
18
построить 2-форму со на М со = i*S2.
(1.3.4')
Можно показать, что эта форма является замкнутой и невырожденной и,
следовательно, задает симплектическую структуру на М (см. [1]).
Известно также (см., например, [37]), что любое гладкое комплексное
алгебраическое многообразие является кэлеровым многообразием. Это значит,
что многообразие М допускает кэлерову метрику, т.е. эрмитову метрику
ds2 = hllvdz*ldzv, = hvц, (1.3.5)
мнимая часть которой
со = -hpvdz*1 A dzv (1.3.6)
2i
является замкнутой 2-формой. Эту форму и можно выбрать в качестве
симплектической формы многообразия М.
Таким образом, не только алгебраическое, но и любое кэлерово многообразие
является симплектическим. Обратное утверждение, однако, не верно. Именно,
В. Терстоном был найден пример четырехмерного компактного
симплектического неодносвязного многообразия, не являющегося кэлеровым
(см. [296, 66] и приложение А). Существуют примеры и односвязных
симплектических некэлеровых многообразий ([244] и приложение А).
З.Еще одним важным классом симплектических многообразий являются орбиты
коприсоединенного представления групп Ли [17].
Пусть G - группа Ли, $ - ее алгебра Ли, $* - пространство, дуальное к Э,
т.е. пространство линейных функционалов на Э. Группа G действует
естественно на алгебре Ли Э, и это действие называется присоединенным
представлением Ad группы G. Соответственно в пространстве $*
действуеткоприсоединенное представление Ad* группы G. Действуя на какую-
либо точку f пространства $* операторами Ad* (?) для всех g, получим
орбиту Of коприсоединенного представления, проходящую через точку f.
Любая орбита является симплектическим многообразием и форма о/ на ней
задается условием
ь/(ЛГе, ЛГ") = </,[?, Ч]>. (1-3.7)
где ? и т) G Э, и Хг, - соответствующие им векторные поля на орбите,
взятые в точке х, </, ?> - значение функционала f на элементе | G Э.
Более подробно этот класс симплектических многообразий будет рассмотрен в
разделе 1.4. Здесь мы отметим лишь, что любая орбита коприсоединенного
представления компактной группы Ли является кэлеровым многообразием
[126].
Отметим еще следующий способ построения новых симплектических
многообразий. Пусть на симплектическом многообразии М действует
дискретная подгруппа симплектических преобразований Г = {7}, причем это
действие является .эффективным (т.е. лишь единичный элемент е группы Г
действует как тождественное преобразование) и не имеет неподвижных точек
(т.е. при у Ф е для всех х G М, ух Ф х). Тогда фактор-
19
пространство М = М/Г является гладким симплектическим многообразием.
Отметим, что если многообразие Модносвязно, то фундаментальная группа я!
многообразия М изоморфна группе Г: тт1 (М) = Г, а первая группа
когомологий Я1 (М 7t) ~ Г/[Г, Г], где [Г, Г] - коммутант группы Г.
Примеры
1. Пусть М= Р2" - евклидово пространство размерности 2п:
М = {х : х = (р, q), р = (р 1,-. р"), q = (q1,.. .qn)} .
Пространство М становится симплектическим после задания на нем
стандартной 2-формы
со = dpj Л dq/ (1.3.8)
2. М = К1 X S1 - двумерный цилиндр с координатами р G Р1,^ S ?5',0 <<7 <2
я (51 - окружность). Здесь
со = dp A dq. (1.3.9)
Многообразие М получается путем факторизации двумерной плоскости {(Р>
<7)) по дискретной подгруппе сдвигов Г = {?"}, где у": (р, q) -" (р, q +
2 яи).
3.М = Т2 - S1 X S1 - двумерный тор с координатами 0 <<7 < 2я, О <р < 2я;
форма со имеет вид (1.3.9). Это простейший пример компактного
симплектического многообразия. Это пространство также получается из
двумерной плоскости путем факторизации по подгруппе Г = = {Утп ) > где
Утп- (р, d) (р + 2я/я, q + 2яи)~.
4.М = S2 - двумерная сфера с обычными координатами в, р, О < б <я, 0< р
<2яи элементом длины
ds2 = d62 + sin 26dp2. (1.3.10)
Форма oj определяет элемент площади на сфере:
со = sinQdQ A dp. (1.3.11)
Если с помощью стереографической проекции отобразить сферу S2 на
плоскость Римана комплексной переменной z,
в .
z = х + iy = ctg - e'^, (1.3.12)
то внешняя форма принимает вид
со = -2/(1 + I z 12)~2dz A dz. (1.3.13)
Отметим, что многообразие М является неплоским (нелинейным) компактным
симплектическим многообразием.
5.Многообразия в примерах 3 и 4 являются частными случаями более общего
класса симплектических многообразий. Именно, любое двумерное многообразие
