Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
13
ранство М является линейным):
со'\х) = с(кх1. (1.2.12)
Нетрудно видеть, что в этом случае условия (1.2.8) и (1.2.9) совпадают с
условием кососимметричности и тождеством Якоби для структурных
постоянных Cjk алгебры Ли, так что величины С[к должны совпадать со
структурными постоянными некоторой алгебры Ли. Скобка Пуассона принимает
здесь вид
{F(x), G(x)) = cjkx,dJFBkG (1.2.13)
и называется скобкой Ли-Пуассона.
Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть 3 - алгебра Ли, 3* -
пространство, дуальное к ней, т.е. пространство линейных функционалов на
3. Тогда пространство &{ 3*) - пространство гладких функций на 3* -
обладает естественной пуассоновой структурой. Опишем ее.
Пусть e-t - базис в 3, fk - дуальный к нему базис в 3': < /к, еу > = =
8к, (х, %) - значение функционала 3* на элементе \ G 3. Пусть с'к -
структурные постоянные алгебры Ли 3 в базисе еу: [еу, ек\ = с'к еь
а х = Xjf - элемент из 3*. Тогда пространство §¦ (3*) является
пространством функций от переменных xf. f ? f( 3*), F = F(Xj). Для
величин Xj скобку Пуассона зададим формулой
{Xj,xk) = cjkxh (1.2.14)
и, кроме того, потребуем .выполнения правила Лейбница (1.2.3). Тогда мы
придем к выражению для скобки Ли-Пуассона двух функций F и G
{F,G) = cjkxid,'FdkG. (1.2.15)
Нетрудно проверить, что тождество Якоби (1.2.2) при этом является
следствием тождества Якоби в алгебре Ли 3
Шч.Ш + [ч[Г, Ш + [Ш, чП =о. (1.2.16)
Здесь ?, т} и f G 3.
Заметим, что линейные функции на 3* (которые можно рассматривать как
элементы алгебры $) образуют подалгебру относительно скобки Пуассона,
которая совпадает с исходной алгеброй Ли 3.
Отметим также, что скобка Пуассона двух полиномиальных функций на 3*
снова является полиномиальной функцией, так что пространство 3^(3*) всех
полиномов наЗ* образует подалгебру Ли.
Пусть теперь в пространстве 3* задана динамическая система с
гамильтонианом Н(х) и М - подмногообразие в 3* такое, что вектор Хн во
всех точках этого подмногообразия касателен к М. Такое подмногообразие
называется инвариантным подмногообразием рассматриваемой динамической
системы.
Обычно в пространстве $(3*) существуют такие функции Fa (х), что
{хк, Fa(x)} = 0. (1.2.17)
Выбирая из них функционально независимые и приравнивая их и
ПОСТОЯННЫМ -
Fa(x) = са, (1.2.18)
получем подмногообразие в $*, которое, как нетрудно видеть, является
инвариантным подмногообразием для любого гамильтониана Н(х). В
пространстве имеется естественное действие группы G (с помощью
коприсоединенного представления этой группы), и нетрудно видеть, что
рассматриваемое подмногообразие инвариантно относительно этого действия,
т.е. является орбитой коприсоединенного представления или же объединением
ряда таких орбит. В частности, любая орбита является инвариантным
многообразием и обладает невырожденной пуассоновой структурой.
Примеры
1. Пусть М = Ft2", М = { х : х = (p,q),p = (рг, .. . , р") , q = (q i,. .
.
• • - > Я n)) -
Тогда формула
n (bF dG dF dG \
{F, G) = 2 !-------------¦------------- (1.2.19)
/ = i V dp/ dqj dq, dpj /
задает на (F (M) обычную пуассонову структуру.
2.M = i§' - пространство, дуальное алгебре Гейзенберга-Вейля $ = = W": М
= {х :х = (р, q,r), р = (рг, . . ., рп), q = (qlt. . . ,q")}. Тогда
формулы
{р/, Рк) = {Qj, Як) = 0, (1 2 20)
{Pj, Як) = Ь,кг, {р/, г} = {qk, г } = 0
с учетом правила Лейбница задают на М пуассонову структуру. Эта структура
вырождена и на орбитах коприсоединенного представления Ос =
= {х :х = (р, q, г), г = с Ф 0} отличается от структуры
(1.2.19) лишь
постоянным множителем с.
3. Скобка Пуассона для частицы во ''внешнем магнитном поле" Fjj(x)
определяется формулой [14]
{q\ q> } = 0, {q\ Pj) = 5}, { ph Pj) = Fif(q), i, / =
1,. . . , n,
(1.2.21)
где 2-форма
F = Fjj (q)dq' A dq> (1.2.22)
замкнута, dF = 0. Соответствующая этой скобке Пуассона симплектиче-ская
форма со имеет вид
со = T,dpj A dq' + 2 F}j{q)dql A dq'. (1.2.23)
/ i, i
Уравнения движения в рассматриваемом случае имеют вид
ЭЯ ЭЯ ЭЯ
'р> = - ТТ + = 7"' (L224)
dq1 Э рк Э Pj
и при п = 2 или п = 3 описывают заряженную частицу во ''внешнем магнитном
поле Я,/". Отметим, что в области, где F = dA (A =Ajdq' - 1 -форма) ,
скобка (1.2.21) приводится к стандартному виду с Ftj{x) = 0.
15
К виду (1.2.21) обычно глобально приводятся скобки Пуассона для
кокасательных расслоений М = T'N, удовлетворяющие дополнительному
условию; любые функции F и G, зависящие лишь от координат базы N, имеют
нулевую скобку Пуассона {F, G} = 0.
4.М = - пространство, дуальное алгебре Ли группы SO(3), М =
= {х : х = (*!, х2, *з)} • Пуассонова структура задается формулой
{*/, хк) = efk,xh /, к, I = 1, 2, 3, (1.2,25)
где ejki - полностью кососимметричный тензор, е! 2 з = 1. Отсюда нетрудно
получить явную формулу
dF dG'
{F(x), G(x)}
Эдс
Эдс .
(1.2.26)
Здесь [дс, у] - векторное произведение векторов хну. Пуассонова структура
вырождена и на орбитах коприсоединенного представления Ог = = { х : \х\2
= х\ + дс! + х\ = г2} переходит в структуру
