Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
Эта глава является вводной. В ней собраны основные сведения о
гамильтоновой механике, необходимые для дальнейшего. Сведения более
специального характера будут приводиться в основном тексте по мере
необходимости. Большую часть этих сведений с подробными доказательствами
результатов можно найти в современном изложении в монографиях [1, 40], а
также в [2, 3, 9, 66]. Относительно исторических деталей мы отсылаем
читателя к фундаментальной монографии Уиттекера [35] и обзорам Кэли [44,
45] и Пранге [61].
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями и фактами из
теории многообразий, расслоений, алгебры внешних дифференциальных форм и
векторных полей, теории групп Ли и симметрических пространств.
Необходимый материал по этим вопросам можно найти в цитированных выше
монографиях, а также в монографиях [10, 11,17, 19, 20, 36].
Читатель, знакомый с гамильтоновой механикой, может перейти прямо к
чтению основного текста, возвращаясь к главе 1 по мере необходимости.
1.1. Простейший пример: движение в потенциальном поле
Чтобы мотивировать введение основных понятий теории гамильтоновых
динамических систем, начнем с рассмотрения простейшего примера.
Пусть материальная точка (частица) с массой т находится в потенциальном
поле U(q), где q = (q1, . . . , qn) - вектор и-мерного пространства.
Тогда движение частицы описывается уравнениями Ньютона
...ъи
тч'~--^Т- <L1J)
где точка означает дифференцирование по времени. Введем, как обычно,
вектор импульса
Р = (Р 1, - - Р"), Pj = mq!
и энергию - функцию Гамильтона, или просто гамильтониан,
Н = р2 +U(q), р2 =pjPj = PjPj. (1.1.2)
Тогда уравнения Ньютона (1.1.1) можно переписать в виде уравнений
9
Гамильтона
q>=^-, р=_-^, (1.1.3)
bpj bq>
причем эти уравнения описывают движение системы и в случае произвольной
зависимости функции Гамильтона Н(р, q) от р и q. Уравнения (1.1.3) можно
записать в виде одного уравнения. Для этого объединим, прежде всего,
векторы р и q в один 2л-мерный вектор х = (р, q), величины / ЪН ЪН\
( -----; ) - в 2л-мерный вектор V# и введем матрицу J поряд-
ка Р/ bqK J
ка 2л:
с:>
(1.1.4)
где I - единичная матрица порядка л. Тогда уравнения Гамильтона (1.1.3)
можно записать в виде
x=JVH(x) (или J x = -VH(x)). (1.15)
(Такая форма записи уравнений Гамильтона, по-видимому, впервые была
использована Лагранжем в 1808 г. [230, 231] для описания вариации
элементов планеты, возмущенной действием других планет. Относительно
исторических фактов такого типа мы отсылаем читателя к фундаментальному
трактату Уиттекера [35].)
Вектор х = (х1, . . . ,х2п) определяет состояние системы. Множество этих
векторов образует фазовое пространство системы М = {х}, которое в данном
случае является 2л-мерным евклидовым пространством со стандартным
скалярным произведением
(х,у)= 2 х'у'. (1.1.6)
/ = 1
С помощью матрицы J можно определить скобки Пуассона *) в пространстве
f(M) гладких функций на М:
{F(x),G(x)) = (yF,JVG) = J>kdjFdkG =
" / bF dG bF dG \
= 2 (--------------r- Г-----). (1.1.7)
j=i\dpj 3 ' bq> bpj)
Нетрудно видеть, что скобка Пуассона удовлетворяет условиям
(F(x),G(x)}= -(G(x),F(x)}, (1.1.8)
(F(x) { G(x), Я(х) }} + (G(x) (Я(х>, F(x)}} + (Я(х) {F(x), G(x)}} = 0,
(1.1.9)
и, следовательно, определяет на &(М) структуру алгебры Ли
(бесконечномерной!). Отметим, что скобка Пуассона (1.1.7) удовлетворяет
также
*) Скобка Пуассона была введена в работе Пуассона [269].
10
правилу Лейбница
{F,GH) = {F,G)H + {F,H}G (1.1.10)
и потому полностью определяется заданием скобок Пуассона для базисных
величин
{х)',хк)= J'k. (1.1.11)
J
Уравнения движения (1.1 5) теперь можно переписать в виде
х' ={Н,х>}, х={Н,х)=Хн, (1.1.12)
который является каноническим видом записи уравнений движения
гамильтоновой системы. Таким образом, гамильтонова система
характеризуется тройкбй объектов {М, { Н(х)}: фазовым пространством
М,
пуасСоновой структурой { ,} и гамильтонианом Я(х). Векторное поле Хн
={Н,х) называется гамильтоновым векторным полем, соответствующим
гамильтониану Н.
В рассматриваемом случае матрица J является невырожденной, так что
существует обратная матрица
J-x=-J, (1.1.13)
определяющая невырожденную кососимметричную билинейную форму на фазовом
пространстве:
ы(х,у) = (х,Г1у). (1.1.14)
Невырожденная замкнутая 2-форма называется симплектической, а
многообразие, снабженное такой формой, - симплектическим многообразием.
Итак, в нашем случае фазовое пространство является симплектическим
многообразием.
Предположим теперь, что мы сделали замену координат у> = f!(xk), где
f'(xk) - гладкие функции. Если вектор х(г) удовлетворяет уравнениям
Гамильтона (1.15), то вектор y(t) = f(x(t)) удовлетворяет уравнениям
y=Ax=AJ- VxH(x)= AJA'VyH(x(y)), (1.1.15)
/ ду' ,
где А - матрица вида А, = -------:- , а А - матрица, транспонированная
Эх'
к А. Нетрудно видеть, что уравнения ддяу(т) будут гамильтоновы в том и
только том случае, когда
AJA'=J, (1.1.16)
причем новый гамильтониан Н(у) = Н(х(у)). Преобразование, удовлетворяющее
