Интегрируемые системы классической механики и алгебры - Переломов А.М.
ISBN 5-02-013826-6
Скачать (прямая ссылка):
/*,(*.*)= -Ad *(*)•*,
Mr (я. *) = •*> SEG> xS 3*. (1.5.9)
Приведем еще интересную теорему о свойствах выпуклости отображения
момента,доказанную недавно в работах [119, 120] и [180].
Т е о р е м а 1.5.3. Пусть М - компактное, связное симплектическое
многообразие и пусть Р\, Ь\, . . . , Fk - вещественные функции на М,
находящиеся в инволюции и такие, что соответствующие им гамильтоновы
векторные поля почти-периодичны*). Тогда отображение д: М -> (Rfc,
задаваемое функциями Fj, таково, что:
(А) все (непустые) прообразы д-1 (с) (сб (Rfc) связны;
(Б) образ д (М) является выпуклым множеством.
Кроме того, если Z х,... ,Z^ - связные компоненты множества Z С М общих
критических точек функций Fj, то д(Z;) = су - одна точка в (Rfc, а д(Л/)
- выпуклая оболочка точек с\ Сщ.
Замечание 1. Важный частный случай теоремы - это когда всем Fj
соответствуют периодические гамильтоновы векторные поля, так что мы имеем
симплектическое действие тора Тк на М. Отображение д это отображение
момента М -> 3', 3= lRfc, - дуальное пространство к
алгебре Ли группы G = Тк.
Замечание2. ПустьМ - орбита коприсоединенного представления компактной
простой группы Ли G, Н = Тк С G - максимальный тор в G (картановская
подгруппа), Fr, . . . , Fk - линейные функции на 3', соответствующие Тк.
Фиксируем G-инвариантную метрику на 3* и определим ортогональную проекцию
на (Rfc - пространство, дуальное к алгебре Ли
группы Тк. При этом нетрудно идентифицировать точки ct cN (см.
формулировку теоремы) с орбитой группы Вейля W в (Rfc. Теорема 1.5.3
сводится при этом к теореме Костанта [221]:
Ортогональная проекция орбиты коприсоединенного представления на [Rfc (на
пространство, дуальное к алгебре Ли картановской подгруппы Тк) совпадает
с выпуклой оболочкой соответствующей (V-орбиты.
Замечание 3. В свою очередь, теорема Костанта для частного случая группы
G= SU (л)-группы унитарных унимодулярных матриц сводится к старым
результатам Шура [278] и Хорна [203] о выпуклости множества диагональных
элементов эрмитовых матриц с заданным спектром, т.е. множества матриц из
заданного изоспектрального семейства.
*) Векторное поле X на М называется почти-периодическим, если оно
генерирует действие тора, и периодическим, если оно генерирует действие
окружности S1.
30
Примеры
1.M= m2n = {x = (p,q):p-(p1,...,pn), q = (q\ . . . , qn)},
bF ЪН bF bH {F,H)=--- - -, (1.5.10)
bp/ bqi bq> bpj
G={&}, gs: Pj~*Pj, q'^q'+s.
Здесь G - однопараметрическая группа и ей соответствует $ = {|},вектор-
а
ное поле Xt = 2 -: на М и функция Ht = 2р,- = д(е). bqJ
2. Многообразие М и скобки Пуассона те же, что и в примере 1 прии = 3.
Группа G = SO (3), действие группы дается формулой Ф? (р, q) = (gp, gq),
g e G. Элементу принадлежит однопараметрической подгруппе {?f} при t = 1,
gt - exp (tA ), где
0 а3 а2 \
-а3 0 ... (1.5.11)
а2 -ах 0 /
Элемент А&З генерирует векторное поле
ХА : р=Ар, q=Aq. (1.5.12)
Это векторное поле гамильтоново с гамильтонианом
НА~ (Ар, q) = (a [q,p]), (1.5.13)
где а = (дь а2, а3), [q,p\ - векторное произведение векторов q и р.
Отображение момента д: 1R6 -*¦ IR3 переводите = (р, q) в вектор д(е) =
\q,p\.
3. Многообразие М = [R2" и скобки Пуассона те же, что и в примере 1.
Группа G = Sp(2"; D3) - вещественная симплектическая группа. Пространство
3* мы можем здесь отождествить с алгеброй Ли 3, которая состоит из матриц
А порядка 2п, удовлетворяющих условию
(А ВЛ /0 -Л
AJ + JA = 0, J= ( 1, J = I ). (1.5.14)
'CD' V/ 0/
Отсюда следует, что матрица А имеет вид
/' А В \
А = , В' = В, С' = С. (1.5.15)
\ С -А'!
Такой матрице соответствует гамильтониан
=(4x,Jx)= (p,Cp)-(ci,Bq)- (q,Apy-(p,A'q). (1.5.16)
Отображение момента д: [R2" -*3 переводите = (р, q) в матрицу А такую,
что
А = - (р (r)q), В=р(r)р, C=-(q(r)q). (1.5.17)
31
4. Многообразие М = IR2", скобки Пуассона даются формулой (1.5.10).
Группа G = Sp(2n, IR) П SO (2 л) - U(л). Элемент Л алгебры 'S группы G -
это матрица вида
Отображение момента д: IR2 "->{/(л) переводит х = (р, q) в матрицу Л
(1.5.18), у которой
5. Многообразие М = Т'Х = {х, у),Х={х) - множество эрмитовых матриц
порядка п. Симплектическая структура на М задается формулой
Пуассонова структура индуцируется этой симплектической структурой. На
многообразии М действует группа G = U(ri) - группа унитарных матриц
порядка л:
6. Многообразие М = Т'Х, где X - пространство вещественных
симметрических положительно определенных матриц порядка л. Элемент
пространства М задается парой (х, у),х ? X, у ? Т* X. Симплектическая
форма
со имеет вид, d6, где б = ^tr O'-* 1 ' dx • x_1). Обе эти формы
инвариантны относительно преобразованийх ~*gxg',y ~*gyg', гдeg - элемент
группы G верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
Пространство $ * состоит из нижних треугольных матриц с нулями на главной
диагонали. Отображение момента имеет вид
где верхний индекс ''минус" означает, что мы заменяем на нуль все
элементы матрицы, стоящие на главной диагонали и выше нее.
