Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
482
Гл. X. КОСМОЛОГИЯ
Как было показано в § 153, частицы, которые покоились относш тельно
пространственных координат (г, 0, ср), а, следовательно, также и
относительно (г, 0, ср), остаются покоящимися все время. Поэтому не будет
происходить увеличения или уменьшения числа туманностей из-за их среднего
потока через границы при г и r+бг, и поэтому (181.1) дает полное число
туманностей в рассматриваемом интервале координат, одинаковое для любого
момента времени. Иными словами,
Отсюда видно, как изменяется число туманностей по мере перехода ко все
более и более удаленным координатам. Следует отметить также, что это
выражение вместе с уравнением (178.11), связывающим координаты
местонахождения со светимостью и красным смещением, могло бы служить для
прямой эмпирической проверки того, насколько однородно распределены
галактики в реальном мире.
Зная величину R0, которая может быть как действительной, так и
бесконечной и мнимой, мы можем проинтегрировать уравнение (181.2) и
получить полное число объектов во всем объеме вплоть до любого наперед
заданного г. В дальнейшем будут установлены ограничения на возможные
значения Rjj (см. (183.14)) и окажется, что r2/Ro едва ли может
превосходить 0,02 даже для самого удаленного скопления в созвездии Льва,
расстояние до которого составляет несколько сот миллионов световых лет.
Поэтому в большинстве случаев для полного числа туманностей внутри
области с любым наперед заданным радиусом г можно положить
Подставляя сюда значение г из уравнений (178.11), (179.7) и (180.4),
можно получить еще несколько формул:
Эти соотношения определяют соответственно полное число га-
dN = const
r2dr
(181.2)
N = const-г3.
(181.3)
N = const-г3.
N =
const
3nst [ % \3
^ 3. 2 (A. 67 J
(181.4)
§ 182. РАССТОЯНИЕ ДО ТУМАННОСТИ И КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
483
лактик внутри области вплоть до заданного значения координаты г,
астрономического расстояния d, болометрической светимости I или видимого
диаметра 60; причем &Х/Х равно максимальному красному смещению
туманностей в указанной области*). Второе из этих выражений следует
сравнить с выражением (177.21), полученным ранее исходя из предположения
о стационарности туманностей и об евклидовости пространства.
§ 182. Расстояние до туманности и ее красное смещение
Теперь мы можем рассмотреть связь между координатами туманности и ее
наблюдаемым красным смещением, пользуясь по-прежнему координатами (г, 0,
ф, t), которые, как было показано, являются очень удобными для проведения
сопоставления с астрономическими наблюдениями. В этих координатах
интервал однородной модели записывается в виде
ds2 = - е8^ ^ г2^92 + r2sin20d(f2 j + dt2. (182.1)
Исследование допплер-эффекта, проведенное в общем виде в § 155 (см.
уравнение (155.8)), а для частного случая в§ 178 (см. уравнение (178.5)),
показывает, что относительное красное смещение длины волны света,
испускаемого туманностью, наблюдаемой из начала координат, можно
представить следующим образом:
~ = е'/,<*,-*.) -И (182.2)
где gi и g2- значения функции g{t) соответственно в моменты времени t\,
когда свет испускается туманностью, и t2, когда он достигает центра
наблюдения.
При описании с помощью этого уравнения данных наблюдения, g2, очевидно,
можно считать постоянным, поскольку все туманности, которые мы наблюдаем
из нашего местоположения, принятого за начало отсчета, мы наблюдаем в
один и тот же момент времени. С другой стороны, gi следует рассматривать
как переменную, так как при переходе ко все более удаленным туманностям
мы переходим ко всем более ранним временам излучения, т. е. значения gi
оказываются разными. Отсюда ясно, что красное смещение будет по-разному
зависеть от расстояния до туманности при различных видах функции g(t).
*) В своих лекциях, прочитанных в Калифорнийском технологическом
институте зимой 1932 г., профессор Эйнштейн указал, что эти выражения для
числа туманностей можно использовать для проверки справедливости модели
Эйнштейна - де Ситтера, в которой R q полагается равным оо, а Д=0.
31*
484
Гл. X. космология
Чтобы иметь дело с конкретным видом функции g(i), можно, конечно, выбрать
какую-нибудь модель с одним из типов эволюции, рассмотренных во второй
части этой главы, и позаимствовать g(i) у этой модели. Однако в настоящее
время такой выбор пришлось бы делать на основе каких-то метафизических
спекуляций. Поэтому для наших целей лучше всего пойти более
феноменологическим путем и попытаться получить максимально возможную
информацию относительно вида функции g{t), проводя сравнительный анализ
данных наблюдений.
Поскольку естественно считать, что g(t) - непрерывная функция t, и
поскольку красное смещение зависит от расстояния приблизительно линейным
образом, то разумнее всего взять функцию g(i) в виде разложения в ряд
Тейлора по степеням t около текущего момента t2, который мы примем за
начало отсчета времени [99], т. е. положим t2 - 0. Тогда, пренебрегая
пока степенями выше третьей, получаем
