Структура пространства-времени - Пенроуз Р.
Скачать (прямая ссылка):
момент времени, когда туманность, расположенная в центре, испускает свет,
через t\, а момент времени, когда этот свет достигнет наблюдателя,
расположенного на координатном расстоянии г от центра, через t2.
Используя скорость света, которая определяется с помощью выражения для
интервала
(178.2), можно связать оба значения t с пройденным расстоянием уравнением
Продифференцируем обе части этого выражения. Учитывая, что пределы
интегрирования в правой части постоянны, получаем
Это уравнение связывает промежуток времени бЧ между двумя
электромагнитными возмущениями на источнике с промежутком 6^2 между этими
же возмущениями у наблюдателя через посредство функции g(t), которая
принимает значения gi и g2 в моменты Ч и t2 соответственно.
Предполагая, что бЧ - это промежуток времени между двумя
последовательными волновыми максимумами, испускаемыми источником, и
замечая, что координатное время t совпадает с собственным временем как
источника, так и наблюдателя, перепишем выражение (178.4) в виде
где А, и v - длина волны и частота света на источнике, а (А+бА) и (v+6v)
- соответствующие значения у наблюдателя. Полученное выражение, как и
следовало ожидать, совпадает с результатом (155.7), найденным ранее для
допплер-эффекта.
§ 178. КООРДИНАТЫ ТУМАННОСТИ И СВЕТИМОСТЬ
477
Далее, предполагая, что б ti в уравнении (178.4) есть промежуток времени
между испусканием двух последовательных фотонов, которые уносят энергию
от туманностей, получаем
2 - о (&2 St)
¦~ = е 2 . (178.6)
Здесь z\ - число фотонов, покидающих источник за единицу времени, а г2 -
число фотонов, попадающих в единицу времени на поверхность сферы с
координатным радиусом г вокруг начала координат.
И наконец, согласно выражению для интервала (178.2) полная собственная
площадь поверхности сферы с координатным радиусом г, через которую фотоны
пройдут в момент времени t2, равна
Л0 = 4л?ев\ (178.7)
Отсюда, если предположить, что средняя энергия фотонов, испускаемых
туманностью, равна Мц, из последних трех уравнений, в согласии с
приведенным выше определением, получаем следующее выражение для
наблюдаемой светимости:
I = ZlftVl-62gl g -¦¦¦ = (гтжТ- <178-8)
4лг е 4лг е 2 "Ь
Полученный результат относится к простому случаю, когда туманность
находится в центре, а наблюдатель - на координатном расстоянии г. Однако
в § 149, в было показано, что преобразование к новой системе координат с
тем же выражением интервала (178.2), как и раньше, но с наблюдателем,
перемещенным в центр, приведет к тому, что туманность окажется на
координатном расстоянии г. Поэтому мы можем заключить, что формула
(178.8) справедлива также и в том случае, когда наблюдатель находится в
центре, а туманность - в Т.
Такая конфигурация более удобна, если мы желаем сравнивать наблюдаемые
светимости галактик, находящихся на разных расстояниях г, но наблюдаемых
в начале координат в один и тот же момент t2. Считая, что собственные
светимости и, следовательно, г 1 и vi для различных туманностей
одинаковы, мы немедленно получаем из (178.8)
/ 7'2(1 + б V/V)*
/' :"
г"(1 +6\А)2
(178.9)
где 1/1' - отношение наблюдаемых светимостей двух тождественных
туманностей, помещенных на координатных расстояниях г
478
Гл. X. космология
и г', а 6АД и 6А/Д'- их относительные красные смещения, наблюдаемые в
центре.
С помощью преобразования (178.3) отношение светимостей можно выразить
через прежние координаты г:
I (i-mw
v г* (l +/2/4Я§)2(1 4- 6\j\yz •
Новое выражение имеет гораздо более сложный вид, чем старое
(178.9). Именно поэтому мы для решения задачи и выбрали координатную
систему (г, 0, ф, t) вместо координатной системы (г, 0, ф, t), в которой
было записано первоначальное выражение для интервала.
Следует отметить, что при выводе соотношений между светимостью и
координатами местонахождения мы, кроме однородности модели, предположили
постоянство средних собственных светимостей туманностей во всем интервале
времени порядка 108 лет. Этот интервал времени будет всюду фигурировать в
реальных приложениях.
Разрешая (178.9) относительно г, получаем зависимость координатного
расстояния от светимости:
7 = <178Л1>
§ 179. Координаты туманности и астрономическое расстояние до нее
Чтобы выразить астрономическое расстояние d, вычисленное по формуле
Хаббла и Хьюмасона, через координату г местонахождения туманности, нужно
воспользоваться уравнением (178.9), связывающим координату г со
светимостью. Но прежде всего светимость нужно выразить через звездную
величину, так как астрономические расстояния определяются через
последнюю.
Находя из (178.9) отношение г/г' координат двух туманностей и
логарифмируя, получаем
г Л С , 1 1 + 67'Д' Л7ПП
lg - 0,5 lg t -fig j _j_ бх/Л * (179.1)
Вспоминая определение звездных величин через светимость, находим
т - т' - 2.5 lg-]-*
§ 179. КООРДИНАТЫ ТУМАННОСТИ И РАССТОЯНИЕ ДО НЕЕ 479
откуда ясно, что уравнение (179.1) можно переписать в виде
\g-y= 0,2(тбол - Шдол) + lg V я , (179.2)
