Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
/О 0 0\ /00 ?\ /0
/1= о О -И, /, = ( ООО
\0 ? о./ Ч- ? 0 0/
Очевидно, что ненулевые матричные элементы этих генераторов
могут быть записаны в виде
(J i)ab
где а-номер столбца, Ь-номер строки.
/.=
-? 0 0 0 0 0
27 0 28. ПРИЛОЖЕНИЕ (НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ)
2.4. Тождества Фирца для матриц о:
где 00 = 0,0,-, t = l, 2, 3. Эти соотношения легко проверить, умножив оба
равенства на и на 6"б?. Из этих равенств следует, что
+ ogo$= + (ЩЧ + °Х),
6g6§ - ogoS = -m-ogog).
Действуя на произведения спиноров i|Aptf, первое из этих
выражений дает состояние со спином 1, а второе-со спином 0.
Это согласуется с тем, что оператор, зануляющий состояние
со спином S, имеет вид
S2_S(S+l)=^(ai + a2)y_S(S+l) =
, , Г T+4-ffia2 ПРИ 5==0>
= |+ya1a2-5(S + l)= 2 2
\ - y+yaia2 при 5=1.
2.5. Группа SU(3). Фундаментальным представлением группы SU (3) являются
матрицы
- Х-<о-
t/ = e2 ", t-=l, 2, ..., 8,
где А,,--матрицы Гелл-Манна, а со,--восемь реальных параметров. Обычно
матрицы А,,- выбирают в виде
О 1 0\ (r)
А* = ( 1 О 0 ), К = \1 0 0], А3 = ( О -1 О
Vo О О/ АО О 07 \0 0 0
/О 0 1\ /0 0 -?\ /О О О'
А4 = ( О 0 0 ), А6 = ( О 0 0], 1,= 0 0 1
10 0/ \? 0 о/ 40 1 О
/О о 0\ 1 Z1 0
А, = (о О -? J, А,3 = гд= ( 0 1 О
\0 ? О/ 'ПО 0 -2
Матрицы А, удовлетворяют следующим соотношениям: _2 3
=- j fy/1 +Ау А* + Ам М- = lifijkKt
[A,-, Ay]+ = -i6,7l+2d,7ftAA. где ?, /, * = 1, 2, ..., 8,
/1 0 0\
1 = 10 1 0), Тг А,Ау = 2б,7. \0 0 1/
2. ГРУППЫ
271
Здесь flik-структурные константы группы SU (3), dijk симметричны, a fijk
антисимметричны относительно перестановок любой пары индексов. Прямым
вычислением легко найти 54 ненулевые константы ftjk и 58 ненулевых
констант di]k:
ijk fijk ijk dijk ijk d-ijk
123 1 118 i/Уз 355 1/2
147 1/2 146 1/2 366 - 1/2
156 -1/2 157 1/2 .377 -1/2
246 1/2 228 1/У 3 448 - 1/2 У 3
257 1/2 247 -1/2 558 - 1/2 УЗ
345 1/2 256 1/2 668 - 1/2 УЗ
367 -1/2 338 1/У 3 778 - 1/2 УЗ
458 У 3/2 344 1/2 888 -1/УЗ
3 00 У"3/2
(54 = 9x6, где 6-число перестановок индексов i^j^k, 58 = = 4x6+ 11 хЗ +
1). Заметим, что diJk = 0, если среди t, /, k нечетное число раз
встречаются индексы 2, 5, 7. Напротив, f,-fk = О, если индексы 2, 5, 7
встречаются четное число раз. Эта выделен-ность индексов 2, 5, 7 связана
с тем, что соответствующие матрицы X антисимметричны.
2.6. Тождества Фирца для матриц X- Пользуясь полнотой девяти трехрядных
матриц 6jf, , запишем, введя неопределенные коэффициенты:
6"6Й7 = АЩ+ Вх*х1 X^I = Сбв + Dfo Х$, где ХХ = Х;Х;, i=l, ..., 8. Умножив
оба равенства на 6*6(r), получим
3 = 9 Л, 16 = 9С.
Умножив их же на 6&6$, получим
9 = ЗЛ + 16?, 0 = ЗС + 16,
откуда следует
Теперь нетрудно найти, что
86рб? + 3>,р|Я,в = + (86"6g+ 3^6Xg) = - (4б?6^-ЗВД).
27 2 28. ПРИЛОЖЕНИЕ (НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ)
Действуя на произведение двух триплетных спиноров, первое из этих
выражений отбирает состояние 6, а второе-3 (напомним, что 3x3 = 64-3).
2.7. SU(З)-мультиплеты. Контравариантный трехкомпонентный спинор
преобразуется матрицами U = е'"А/*; мы. будем обозначать его 3.
Ковариантный спинор ta преобразуется по комплексно-сопряженному
представлению: U* = e~ia>ilV2, мы будем обозначать его 3. Пользуясь
инвариантными тензорами ea0v и ea8v, можно построить из 3 и 3
представления более высоких размерностей:
3x3 = 8+ 1
синглет, 1 ~ f4p6&; октет, 8 ~ 7^ = 6? (tvtv);
3x3=3+6
антитриплет, 3'~ТЧ = секстет, 6 ~ Т"Р = tafi +
6x3 = 8+10
октет, 8 ~ Tl = /"7'8veagfl, декуплет, 10 ~ Та$"*\
6x3 = 3 + 15
3~rv = i'a7^v; 15 ~ Tiy;
8x8=1+8 + 8 + 10 + 10 + 27
I6~Ta(iv; 27~Г$.
Произвольный тензор может быть записан в виде
. rpq_
Р ~ ага, ... ау
где отдельно по всем верхним и по нижним индексам проведена
симметризация, и след по любой паре а$к равен нулю. Нетрудно найти N-
полное число компонент мультиплета Tf.
(Р + 1)(?+1)(Р + </ + 2).
Примеры физических SU (З)-мультиплетов:
= d -триплет кварков,
Vs/
qa = (u, d, s) - (анти)триплет антикварков,
(Лл+ К+
pa_____
V 6 У 2
Т)° я°
к- к°
к°
2т)°
V 6
- октет псевдоскалярных мезонов,
2. ГРУППЫ
273
Bg =
/А" 21"
У~Ъ У"2 2~
а-
2+ р
Л" 2"
V 6 V 2
2Л°
К 6
-октет барионов.
Выделяя изотопическую подгруппу SU (2) группы SU (3), удобно изображать
частицы мультиплета на так называемых ГдК-диа-граммах, примеры которых
приведены на рис. П.1-П.З.
у
/ \ff ~ 2 \ -9 М'* (s
Y\ п 1 \_Р .
А ?• \
/ 1 1 А
г 7
е~ *0 1 "
Рис. П.1
Рис. П.2
52-Рис. П.З
Объединяя в SU (2)-дублеты d- и s-кварки (или s- и ы-кварки), можно
выделить из группы SU (3) подгруппы {/- и V-спина (рис. П.4) *). Как
видно из рис. П.1-П.4, частицы, входящие в один {/-мультиплет, имеют
одинаковые заряды. Заметим, что в октете состояния 2° и А0 имеют
определенный Т-спин и не имеют определенного {/-спина. Определенный {/-
спин имеют их линейные суперпозиции:
2?/ = -|2"* + ^Л", U=l, АЪ = -!^2"-1а", {/=0.
*) Иногда для обеспечения положительности матричных элементов*повы-шающих
операторов той или иной SU (2)-подгруппы, перед некоторыми частицами SU
