Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
278 28- ПРИЛОЖЕНИЕ (НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ)
В нерелятивистском пределе симметричные комбинации переходят в выражение
З + оо, а антисимметричные-в 1-аа. (Действительно, в нерелятивистском
пределе S-+V-+ 1, Л--71 -+ - аа, Р-+0.)
Напомним, что для системы двух спиноров выражение (3+0i02)/4 является
проекционным оператором состояния е полным спином S, равным единице, а
выражение (1- агаг)1^-проекционный оператор состояния с S=0. Это легко
увидеть, если возвести в квадрат равенство S= 1иа1-*г112ог:
S(S+l) = ^o31 + |oi + l 0i02 = у (3 + 0io4).
Мы видим, таким образом, что имеется полное согласие между
нерелятивистскими и релятивистскими свойствами симметрии: ведь состояние
с S = О антисимметрично при перестановке образующих его спиноров, а
состояние с S = 1 симметрично.
.До сих пор мы рассматривали пять лоренцевых скаляров. Точно такая же
матрица Фирца связывает между собой пять лоренцевых псевдоскаляров. В
этом легко убедиться, если в рассмотренных выше четырехфермионных
выражениях заменить, скажем, d на ysd.
В расчетах слабых процессов особенно часто встречаются два соотношения:
ау" (1 + У*) Ь¦ суа (1 + у5) d = - ау" (1 + У8) суа (1 + у.) Ь, а?а(1
+yb)b~cya(l-y-0)d=+2a(l-y6)d-c(l+ys)b.
Эти соотношения легко получаются из фирцевского разложения V-варианта.
Для получения первого надо сделать замены:
а-+а(\-у5), Ь-^(1+у,)Ь, с~^с( 1-у5), d -(1.+y,)d.
Для получения второго надо сделать замены:
а-+а(1 -у6), 6-*(1+у5)&, с-^с(1+ys), d(1 -у8) d.
3.5. Вывод тождеств Фирца для матриц Дирака. В этом разделе приведем
явный вывод матрицы Фирца. Рассмотрим сначала некоторые вспомогательные
соотношения. Разложим произвольную 4 х 4-матрицу у по 16 матрицам уА,
А = 1 1-единичная матрица, S-вариант,
Л = 2, 3, 4, 5 у0, у1, у2, у8 V-вариант,
Л = 6, 7, 8, 9, 10, 11 а10, а2(r), а30, а12, а28, а81 7-
вариант,
Л = 12, 13, 14, 15 у5у°, у5у\ у5у2, у5у8 Л-вариант,
Л = 16 у5 Р-вариант.
3. СВОЙСТВА МАТРИЦ ДИРАКА 279
Тогда
СЛ = ДЛТГ77Л,
где
да = ^Тг7а7а-
Легко проверить, что
Дд = +.1 для А = 1, 2, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 16 Ал = - 1 для А = 3, 4, 5,
9, 10, 11, 12.
Таким образом,
7 = 451 АлТг(77л)7л>
А
или, явно выписывая матричные индексы,
yi = 4l^ 7^-
А
Последнее равенство будет иметь место, если
4 5L АаУЪУм =
А
Сделав в этом выражении замену т т', !->!' и умножив его на тензор
F(tm),G\', где F и G-некоторые матричные выражения, получим основное
соотношение, с помощью которого вычисляются коэффициенты матрицы Фирца:
ВД=4ЕЛ^7аС)Г(7л)1-
А
Если рассмотреть это выражение в спинорных обкладках ак Ьт, с[ d;, то
получится именно то, что нам нужно: при переходе от левой части равенства
к правой спиноры Ьт и dt меняют своих партнеров. Рассмотрим теперь, как
получаются отдельные строки матрицы Фирца.
Скалярный вариант. В этом случае F = G = \. Отрицательные значения Д3,
Д4, Д5 обеспечивают правильный знак в скалярном произведении у уа = YoYo-
77- Отрицательный знак CSA обусловлен тем, что Д12 = -1. Отрицательный
знак CST легко проверить, если учесть, что в сумму ааРсгар слагаемое
а10а10 входит со знаком минус (из-за псевдоевклидовой метрики).
Псевдоскалярный вариант. F = G=y5. Из-за антикоммутации 7" с 75 Срг == -
CSY, СРА = - CSA.
Векторный вариант. F = 7", G=ya. Коэффициенты второй строки матрицы Фирца
определяются следующими
280 28. ПРИЛОЖЕНИЕ (НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ)
соотношениями:
7"7л7<* = *Ул ДЛЯ ул =1,
= - 2ул для 7Л = 7Ц.
= 0 для уА = a|iv,
= 2ул для 7л = 7У\
= -47 а Для 7л = 75.
Аксиальный вариант. F - у6у"" G = у6уа. Выкладки аналогичны предыдущему
случаю.
Тензорный вариант. F = ¦¦¦!¦- G = -1=- а"р. При по-
У 2 у 2 ¦
лучении коэффициентов использованы соотношения:
оае7л^ар = ^127л Для 7л = 1.
= 0 для 7Л = 7Ц,
= -47л для 7А = &*.
= 0 для ул = у^(
= -127л ДЛЯ 7л = 76-
Чтобы получить соотношения Фирца для продольных спиноров, надо взять *
F = ya(l-fys), G = 7"(l +7e).
или
F = 7"(l+7e), G=ya(l-y6).
4. Правила расчета вероятностей
4.1. S- и Г-матрицы. Рассмотрим набор физических состояний, которые в
результате взаимодействий могут переходить друг в друга. Переход из
некоторого состояния i в некоторое состояние / охарактеризуем величиной
Sfi. Совокупность всех величин S/i образует матрицу рассеяния, или как ее
иначе называют,
5-матрицу. Если все взаимодействия выключены, то S-матрица превращается в
единичную матрицу /: каждое состояние переходит само в себя. Поэтому
физические процессы имеют место, если отлична от нуля Г-матрица, которая
определяется соотношением
S = I + iT.
В дальнейшем мы будем называть амплитудой процесса величину Mfi\
T/i = (2я)4 б4 (pf-Pi) Mti,
где pi и pf-4-импульсы начального и конечного состояний, а
6-функция в явном виде выражает закон сохранения энергии-импульса:
б1 iPf-Pi) = б(Pf-Pi)б {рЧ-рП б (р!-1рЧ)8(.Ej-Ei).
4. ПРАВИЛА РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ 281
В дальнейшем индексы / и i у Мп мы будем для краткости опускать.
4.2. Вероятность и сечение. Квадрат модуля Тн определяет вероятность
