Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Окунь Л.Б. -> "Лептоны и кварки " -> 95

Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.

Окунь Л.Б. Лептоны и кварки — М.: Наука, 1990. — 346 c.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка): letoniikvarki1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 125 >> Следующая

(З)-мультиплета ставят знак минус (см. де Сварт Дж. // УФН,- 1964,- Т.
84.-С. 651).
274 28. ПРИЛОЖЕНИЕ (НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ)
3. Свойства матриц Дирака
3.1. Матрицы у. Матрицы ум удовлетворяют условию W + |i, V = 0, 1,2,3.
Мы используем представление
T' = (i -")• "о)
или, что то же:
. t-(JS).
Ye = У* = t'YoYiYsYs = - t'Y°Y Yy3 = - (J J ) I 1 = ( о l) •
(В определении знака матрицы y5-единственное отличие наших обозначений от
обозначений известной книги Бьёркена и Дрелла.)
Y*V = - yY. (ys)2= 1-
¦"Скалярное произведение" матриц ум и 4-вектора
А = Лмум = Ацу* - = А0 у 0-Ау.
Умножая Yi7v + 7vT|i=:2g,iv-l на g^, на А^ВУ и на Av, получим
соответственно
7% = 4-1,
АВ + ВА = 2АВ-\, ,
y*A + Ayll = 2Ail-l.
Если последнее равенство умножить справа на Ry^, где R-произвольное
матричное выражение, то получится
уМЯум + Лу*Ч?ум = 2;?Л.
Отсюда получаем:
для R= 1: уМ7ц = -2Л,
¦ для R = B: у"АВу11 = 2АВ + 2ВА = 4АВ,
для R = BC: у*МВ?ум=--2 СВ А.
3.2. След матриц 7. След (Тг)-сумма диагональных элементов матрицы:
Тгум = 0, Тгу6 = 0, Тг1=4.
По определению
Тгуа1уа* . . . yan-iy<*n - Jr yat ^ в ^ ly^nyai'
Отсюда, используя соотношения (у5)2=1 и yY = -уму5, легко получить, что
след произведения нечетного числа матриц равен.
3. СВОЙСТВА МАТРИЦ ДИРАКА
275
нулю:
Тг y(r)iy(r)i ... у(r)в-"уа>" = Тг y*y*y(r)iy(r)t ... yan-iyan -
= Тг у5уа>у(r)* . . . yFn-tyапу* = - Тг уа*уа" . . . yar'-tyan = О,
Если воспользоваться соотношением у(r)ув -f. уву" = 2g(r)& • 1, то
аналогичным приемом для случая, когда п четно, нетрудно получить
следующую редукционную формулу:
Т Г уа>уа* . . . y(r)w-iy(r)" =
= g(r)iOt" Tf у(r)"уа" . . . y""-iy*i" g(r)i(r) j Тг у(r)*у(r)' . . . у(r)11- iya>*
-)_ (- Tf yaiy<z, _ _ _
Для п = 2 и п = 4 имеем
Try"yB = 4g(r)B, ,
Try"yByvye = 4 (g(r)3#7* + gaV5v-gav^pe)-Из определения y(r) =- ty^^y3
следует, что
Тг y5y"yByvye = 4te"3ve>
где e(r)Bve-полностью антисимметричный тензор четвертого ранга (ё0123= 1):
62 6? 6"
pOtPvfi
tj ---
cMvPa-
'li ''v vp
6B sg eg sB
6V 6V 6V 6V
6* 6$ 6* 6j>
Если умножить это на 6g, то получим
ea0vaeMvP6 = -
5" 6(r) 6"
JA V ир
5? " 5? gv UJA uv ир
(Мы использовали при этом, что 6g6g = 6", б?б<> - 4.) Аналогично
получаются соотношения
Sjivye 2
5" 6"
ц °v
ea0veeMPvfl = -66(r), ea3veeaP?6 = -24.
3.3. Дираковский биспинор. Уравнение Дирака для свободной частицы с
массой т и 4-импульсом р имеет вид
(р-т)и = О,
276
2 8. ПРИЛОЖЕНИЕ (НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ)
где и - четырехкомпонентный спинор (биспинор):
Определим сопряженный биспинор следующим образом: и = и+у° = (и{, ы2\ -
Us, -ui).
Он удовлетворяет уравнению
и (р-т) = 0.
3.4. Четырехфермионные инварианты и тождества Фирца для матриц Дирака.
Из биспиноров а и Ь, описывающих, вообще говоря, две разные частицы,
можно составить 16 билинейных комбинаций, которые группируются в пять
различных лоренц-кова-риантных величин:
каждая из шести компонент тензора была нормирована на единицу (точнее на
-1):
Так же нормированы остальные ков ар и анты:
1-1 = 1, ТаУ" = 41, уау6у"у" = - 4-1, увув = 1 -
Можно было бы иметь полное единообразие, если ввести в определение
тензора и аксиала множитель i, но по традиции этого обычно не делают.
Ковариантная величина - ab-скаляр
Число компонент
1
4
6
ауаЬ-вектор
-тензор
ay6*f-b-аксиал ауъЬ-псевдоскаляр
4
1
Здесь
Множитель 1IV2 в определении тензора введен для того, чтобы
Tf а°* Tf °* = 7 to-W") =
= т (YaYpVV -YpYaYV) = -6 • 1.
1
3. СВОЙСТВА МАТРИЦ ДИРАКА 277
Из четырех биспиноров a, b, с, d лоренцев скаляр можно построить пятью
способами:
(ab) (cd)-S-вариант,
(ayab)(cyad)-V-вариант, у (a<japb) (ca^d) -Т-вариант,
(аТаТб b){cyaybd) - Л-вариант,
(ay5b) (cy5d)-Р-вариант.
16 матриц (1, уа, а^, уъуа, уй) образуют полную систему, поэтому любой из
вариантов может быть представлен как линейная суперпозиция вариантов с
измененным порядком спиноров:
(аО(Ь) (cO'd) = 2 Cik (aOkd) {сО*Ь),
к
где 0S = 1, 0v = ya, От = аоф1У2, 0А = уъуа, 0р = уъ.
Можно показать (см. следующий раздел), что коэффициенты Cik имеют
значения, приведенные в таблице.
Матрица Фирца*)
Варианты S V г А Р
S 1/4 1/4 -1/4 -1/4 1/4
V 1 -1/2 0 1/2 -1
т -3/2 0 -1/2 0 -3/2
А -1 -1/2 0 -1/2 1
Р 1/4 -1/4 -1/4 1/4 1/4
*) Знаки в таблице отвечают случаю коммутирующих спиноров (с-чисел); для
случая 47-чисел все коэффициенты меняют знак.
Отметим, что таблица симметрична по отношению к отражениям относительно
центральной клетки Стт. Отметим также, что таблицу следует читать слева
направо, но не сверху вниз; это связано с тем, что пять инвариантных
амплитуд, по которым производится разложение, не ортогональны друг другу:
матрица Фирца не является матрицей ортогонального поворота. Глядя на
матрицу Фирца, легко проверить, что при перестановке b<r*d две комбинации
вариантов переходят сами в себя со знаком плюс, а три - со знаком минус
(если предположить, что биспиноры коммутируют):
3 (S + P)-Т, 2 (S-P) + V-А симметричны,
Г-j-Л, S^-P + T, 2(S-P) - (V-А) антисимметричны.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed