Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для достижения этого результата пришлось отказаться от прежней, классической инвариантности. В тео-
') В точной формулировке это означает следующее. Пусть импульс материальной точки M в заданный момент времени, соответствующий времени t в лоренцевой системе К и времени t _в лоренцевой системе К, равен р в системе К и р в_системе К. Приращения импульса за промежутки времени At и At пусть равны соответственно Др и Др. Тогда частное Ар/At будет равно частному Ар/At тем точнее, чем короче интервал времени At (и At). Точно это равенство соблюдается для производных dp/dt и dp/dt. Доказательство основано на применении дифференциального исчисления и поэтому не приводится.
508
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
рии относительности закон сохранения массы не соблюдается: масса т, согласно релятивистской формуле (3'), принимается зависящей от состояния движения тела М, ее величина изменяется при переходе от одной системы отсчета к другой.
На первый взгляд кажется, что такая «релятивизация» массы усложняет динамику. Однако в действительности усложнения не получается. Правда, закон сохранения массы теряет свою применимость, но зато новое, релятивистское определение массы приводит к поразительному единообразию динамики.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько подробнее выражение (3') для массы. Скорость и тела М, входящая в это выражение, определена в предположении такого выбора единиц для длины и времени, при котором скорость света принимает значение с= 1. Если вернуться к произвольным единицам и соответствующее значение скорости света опять обозначить через с, то значение и скорости тела M заменится на и/с. Тогда мы получим
Элементарное вычисление показывает, что если скорость тела M по сравнению со скоростью света с очень мала, то найденное значение т приближенно равно ')
Следовательно, в этом случае имеет место равенство
') Точным значением для т при сделанном допущении будет
/и — т0
тс2 — тдс2 -J- ~ и2.
(4)
т =
1 -J- -L 1 ° “ L1ouk L
2 с2 '2 4 с4 '246 с6'“‘
J_ м2 1 3 и4 1 3 5 и6
где ряд, заключенный в скобки, сходится. Если отношение и/с мало, то все члены этого ряда, начиная с третьего, исчезающе малы по сравнению с двумя первыми членами.
ГЛ. iv. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
Здесь второй член в правой части дает классическое значение кинетической энергии тела. Поэтому естественно понимать все выражение (4) как полную энергию E тела М\
E = тс2. (4')
Таким образом, полная энергия E складывается из двух частей: из кинетической энергии и постоянной величины т0с2, не зависящей от рассматриваемой лоренцевой системы. Эта последняя величина равна энергии тела в системе покоя (м = 0). Поэтому Эйнштейн и Мин-ковский рассматривали эту «энергию покоя» как внутреннюю энергию тела М. При небольшой относительной скорости и эта составная часть полной энергии E весьма велика по сравнению с кинетической энергией. Эйнштейн видел в этом указание на огромные количества энергии, связанные в атомах. В современной атомной теории эта смелая мысль получила блестящее подтверждение. Формула
E = тс2
выражает собой фундаментальный закон современной физики.
Если единицы длины и времени опять выбрать так, чтобы скорость света была равна с=1, то формула E = = тс2 примет простой вид:
E = т.
Таким образом, теория относительности приводит к неожиданной связи между двумя общими физическими понятиями — массой н энергией: масса эквивалентна энергии„
ГЛАВА V
Общая теория относительности
§ 1. Риманова геометрия
Когда мы говорили о гауссовой теории поверхностей (§ 11 гл. I), мы затронули вопрос об определении длин кривых, расположенных на изогнутой поверхности F. Особенно интересовали нас геодезические линии, т. е. самые короткие линии, соединяющие две точки на поверхности. Вернемся к этой задаче.
Сначала рассмотрим простейший случай, когда поверхность F представляет собой плоскость. Выберем на этой плоскости прямоугольную систему координат К(х, у). Расстояние между двумя точками А (х0, у0) и В(хи Уі) на плоскости, согласно теореме Пифагора, равно
As = Vr(M2-HAy)2. (1)
где
Ax = X1- х0, Ау=уі — у0.
Пусть I — какая-либо линия, расположенная в плоскости F и соединяющая точки Л и В. Построим ломаную In, угловые точки которой A = P0, P1, ..., Pn-ь Pn = B принадлежат линии I. Длина Ln этой ломаной, «вписанной» в линию I, равна сумме длин AiS, ..., AnS отрезков APі, PiP2, ..., Рп-іВ, т. е.
Ln — AjS -f- ... -J- Ans.
Если AvX и Avy суть проекции отрезка Pv_iPv на коор* динатные оси, то
Pv-iPv — Avs = V (Ava-)2 -f {\yf.
211
ГЛ. V. ОБЩДЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Будем увеличивать число п угловых точек ломаной In, следовательно, угловые точки будут располагаться на линии I все чаще и чаще. Длина Ln ломаной In будет при этом изменяться. Если принять, что Ln при возрастающем п приближается к предельному значению L, то это предельное значение L принимается за длину дуги линии I. (Совершенно так же поступают в элементарной геометрии, когда длину дуги окружности определяют как предельное значение длины вписанной в эту дугу ломаной.)
