Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Чем быстрее будут летать ракеты, тем значительнее будет удлинение и сокращение времени. Если скорость сигнала повысится, например, до половины скорости света (при атомных явлениях такие скорости встречаются и наблюдаются), то сокращение времени
193
ГЛ. III. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
составит уже около 13%. При приближении скорости v к скорости света сокращение приблизится к 100%. Таким образом, длительность какого-либо явления рассмотренного выше рода становится сколь угодно малой, если скорость движущегося тела приближается к максимально возможной скорости, т. е. к скорости света.
Сокращение и удлинение пространственных расстояний.
Перейдем к определению пространственных расстояний между событиями в различных лоренцевых системах. Пусть E1 и E2 суть два события, в причинном отношении нейтральные, следовательно, интервал EiE2 между событиями Ei и E2 — пространственно-подобный. Пусть, далее, события Ei и E2 в заданной лоренцевой системе К имеют координаты (хи Ii) и соответственно (х2, t2).
При сделанном допущении относительно характера событий Et и ./^существует вполне определенная лорен-цеаа система К, ось х которой параллельна отрезку EiE2 (см. рис. 50). Следовательно, в этой системе события Ei у. E2 происходят одновременно, и поэтому Af = = ?2—fi = 0. Подставив это значение Af во вторую из формул (L'') и имея в виду, что, согласно принятому раньше условию, с= 1, мы найдем At=VAx. Внеся это значение в первую из формул (L"), мы получим
Ал: = у1 ¦¦ (Ал: v Al) = ¦ ,
Vi- v* ' ' Vl — v2
где V есть скорость системы К относительно системы К.
Таким образом, пространственное расстояние между событиями Ei и E2 получает свое минимальное значение в особой, так называемой собственной системе К, в которой события Ei и E2 происходят одновременно. Это минимальное расстояние равно собственной длине отрезка EiE2. В любой другой лоренцевой системе /<, движущейся со скоростью V относительно собственной системы К, пространственное расстояние Ajc между событиями Eі и E2 больше собственной длины Ах. Для получения Ax следует умножить собственную длину Ax на коэффициент Лоренца a=l/]A—v2 > 1. Если ско*
194
§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИИ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
рость V сравнительно мала, то этот коэффициент удлинения почти не отличается от единицы (a Ax почти равно своему минимальному значению). С возрастанием скорости V удлинение увеличивается, и притом неограниченно, если скорость V приближается к скорости света с = 1.
Четырехмерный мир событий
Все, что было сказано до сих пор о преобразованиях Галилея и Лоренца для случая одномерного пространства, легко обобщить на случаи, когда системы координат имеют два или три пространственных измерения,
Если система К скользит в направлении какой-либо координатной оси (например, оси х) трехмерной пространственной системы К, то преобразования Галилея и Лоренца сохраняют свой прежний вид (G) и (L) (стр. 163 и 172). Появляются только дополнительные формулы
У = У, Z = Z
для пространственных координат у и г.
Геометрическое представление преобразований Лоренца для случая двумерного пространства (плоскость ху) получается из аналогичного представления для одномерного пространства (рис. 47) путем вращения последнего вокруг оси t. Тогда угол, ограниченный световыми трассами, перейдет в «световой конус» (рис. 52),
195
ГЛ. III. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
ограничивающий области «абсолютного прошедшего» и «абсолютного будущего» для начального события О. Между боковыми поверхностями этого двойного конуса лежит «область неопределенности» (относительно события О). Плоскости ху и ху лоренцевых систем К а К, изображающие события, одновременные с событием О, проходят внутри этой промежуточной области. Каждая из осей времени (t и Ї) направлена от конуса прошедшего к конусу будущего.
Читатель, возможно, заметил, что существует примечательная аналогия между лоренцевой плоскостью событий (плоскость xt) и евклидовой пространственной плоскостью (плоскость ху). В евклидовой плоскости применяются прямоугольные координаты х, у (системы К, К и т. д.). Пусть точка Р_имеет в системе К координаты (х, у), а в системе К — координаты (х, у). Расстояние между точками, например между начальной точкой О и точкой Р, вычисляется по теореме Пифагора (рис. 20). Квадрат этого расстояния равен
Г2 =S X2 + у2 = X2 + у2.
Следовательно, сумма квадратов х2+у2 остается при переходе от одной прямоугольной системы (/С) к другой (К) инвариантной. Эта инвариантность может быть использована для вывода формул преобразования координат (х, у) в координаты (х, у). Эти формулы имеют вид
х = а(х — vy), у = а (у-j- vx),
где а и V суть постоянные, причем
1
а = —===-.
Vl+V2
Формулы преобразований Лоренца для плоскости событий (х, t) (здесь вместо координаты у мы имеем координату t) имеют аналогичную структуру, но постоянная а теперь равна
1
а = -.
Vl-V2
196
§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
Мы видим, что инвариантной сумме квадратов координат (х, у), определяющей инвариантное евклидово расстояние между двумя точками О и Р, в лоренцевой плоскости соответствует инвариантная разность квадратов координат двух мировых точек 0(x = t=0) и Е(х, t); эта разность квадратов (х2 — t2 или t2 — х2) определяет квадрат «лоренцева расстояния» между этими точками (собственной длины или собственного времени).
