Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
214
§ 2. ПЕРЕХОД К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОГНОСПГЕЛЬНОСТИ
играют такую же роль, как прямоугольные системы координат К(х, у) в евклидовой плоскости (стр. 82—84). Релятивистская лоренцева геометрия отличается от евклидовой геометрии на плоскости только следующим: в лоренцевой геометрии квадрат расстояния между двумя «мировыми точками» Ei и E2 (т. е. квадрат лоренцевой длины мирового вектора E1E2) равен разности квадратов проекций мирового вектора на оси (пространственную и временную), а в евклидовой геометрии квадрат расстояния между двумя точками P1 и P2 равен сумме квадратов соответствующих проекций на оси х и у (теорема Пифагора).
Квадрат длины At лоренцева вектора E1E2 (стр. 189—190) равен
(Дт)*=±[(Д*)*-(Д/)*], (3)
причем знак плюс или минус перед правой частью следует взять в зависимости от того, имеет ли место соотношение I AxI > At или J Ax! <Дt. В первом случае вектор E1E2 пространственно-подобный, а во втором случае — временно-подобный. Длина Ат равна нулю только для световых векторов, для которых (Ax)2= (At)2.
То, что выражение (3) может иметь различные знаки (+ или —), на языке математики выражают, называя эту лоренцеву квадратичную форму неопределенной. Соответствующую евклидову квадратичную форму (Ax)2+ (Ay)2 называют определенной, так как ее знак вполне определен, а именно он всегда положительный.
Прямым линиям евклидовой геометрии соответствуют в лоренцевой геометрии прямые мировые линии. Временно-подобные прямые мировые линии изображают равномерные движения и обладают, подобно евклидовым прямым, следующим примечательным экстремальным свойством. Пусть AB есть временно-подобный мировой отрезок. Соединим конечные события А и В временно-подобной ломаной AEi... En^iB. Тогда сумма собственных длин Дт отрезков AEu E1E2 будет меньше собственной длины мирового вектора (ср. доказательство, приведенное на стр. 191—192). Это максимальное свойство характеризует прямые линии (равно-
215
ГЛ. V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
мерные движения) как «геодезические линии» лоренцевой геометрии мира событий.
С другой стороны, согласно закону инерции, мировая линия прямолинейна (движение равномерно) в том случае, когда рассматриваемое тело движется в поле, не создающем никаких внешних сил. Если движение происходит под действием силы, то соответствующая мировая линия искривляется (движение происходит неравномерно).
Однако в римановой геометрии могут быть криволинейными также геодезические линии (для примера укажем на большие круги в геометрии сферической поверхности). В этом случае евклидова длина As [см. формулу (1)] отрезка кривой заменяется корнем квадратным из фундаментальной формы (Г) Гаусса — Римана, в которой коэффициенты а, b и с уже не постоянные, а переменные, зависящие от той точки Р, из которой исходит рассматриваемый отрезок кривой.
Это обстоятельство естественным образом привело Эйнштейна к мысли рассматривать специальную теорию относительности («лоренцеву геометрию») как частный случай более общей теории, обобщающей лоренцеву геометрию в риманову геометрию мира событий подобно тому, как евклидова геометрия обобщается в теорию Гаусса — Римана.
В развитой на основе этой идеи общей теории относительности собственная длина At малого временноподобного мирового вектора определяется относительно местной лоренцевой системы Ке(х, t) корнем квадратным из неопределенной квадратичной «мировой формы»
a(Axf-+-2cAxAt + b(Atf, (3')
где Ax и At суть пространственная и временная проекции мирового вектора, начало которого находится в точке Е(х, t). Здесь коэффициенты а, b и с суть функции рассматриваемой мировой точки Е, т. е. функции координат х и /. Эти коэффициенты определяются из условия, что движение тела должно происходить по геодезической линии, собственная длина которой обладает упомянутым выше экстремальным свойством.
216
§ 2. ПЕРЕХОД К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Таким путем возникает, в качестве обобщения специальной теории относительности и соответствующей элементарной лоренцевой геометрии, общая теория относительности — риманова геометрия мира событий.
Эту монументальную идею Эйнштейн применил в своей теории тяготения. Коэффициенты а, b и с неопределенной фундаментальной квадратичной формы (3') мировой метрики определяются в этой теории распределением материи в мировом пространстве, с учетом положения и величины масс. В качестве отправного пункта используется следующее обстоятельство: в очень малых частях мирового пространства геодезические линии, по которым движутся небесные тела, приближенно совпадают с орбитами, определяемыми на основании классической теории тяготения Ньютона.
Подобно тому как евклидова геометрия является предельным случаем римановой геометрии для малых пространственных окрестностей, так и лоренцева геометрия специальной теории относительности представляет собой предельный случай римановой геометрии мира событий общей теории относительности в том случае, если ограничиться рассмотрением явлений в достаточно малой области физического мира событий. В самом деле, теория тяготения Эйнштейна настолько точно совпадает с законами Ньютона даже в пространстве, занимаемом нашей солнечной системой, что отклонения лежат ниже упомянутой в § 2 гл. I минимальной ошибки наблюдения. Только при движении Меркурия — самой малой планеты нашей солнечной системы «эффекты Эйнштейна» достигают значений, немного превышающих минимальную ошибку наблюдения. Ho и в этом случае экспериментальное подтверждение теории тяготения Эйнштейна остается ненадежным. Такая же ненадежность получается и при экспериментальном определении отклонения световых лучей, вызываемого, согласно общей теории относительности, полем тяготения небесных тел. Однако в последние годы были разработаны более точные экспериментальные методы для эмпирической проверки теории тяготения. Благодаря опытам Мёсс-бауэра (Mdssbauer), получившего в 1961 г. Нобелевскую премию, в настоящее время теоретическую карти-
