Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Смысл евклидовой постоянной V следующий: она определяет тангенс угла поворота со, осуществляющего переход системы К в систему К, т. е.
V = tgco.
В лоренцевой плоскости достоянная v есть относительная скорость систем /Си К.
В евклидовой плоскости расстояние между двумя точками равно нулю только тогда, когда эти точки совпадают. В лоренцевой плоскости расстояние между двумя мировыми точками равно нулю в том случае, когда эти точки лежат на одной и той же световой линии. Эти световые линии разбивают все другие мировые отрезки на два класса: на временно-подобные и на пространственно-подобные.
Геометрическим местом точек Р(х, у), находящихся на постоянном евклидовом расстоянии от точки О, является окружность
X2 у2 = г2.
В лоренцевой плоскости таким геометрическим местом является гипербола
х2 — t2 = ±г2,
причем знак плюс или минус берется в зависимости от того, является ли мировой вектор OE(х, t) пространственно-подобным или временно-подобным. На этом обстоятельстве основан выбор единиц длины и временк в лоренцевой плоскости (см. стр. 180—181).
-------------------- ГЛАВА IV
Классическая и релятивистская динамика
§ І. Основной закон динамики Ньютона
В XVI и XVII столетиях на основе, созданной Коперником и Галилеем, началось быстрое развитие физики. В течение 150 лет была подготовлена почва для появления великого ученого Исаака Ньютона (1643—1727), которого с полным правом можно считать создателем основ классической картины мира.
В качестве фундаментального принципа физики Ньютон взял свой основной закон динамики. Этот закон обобщил в себе все, что до того времени было известно в физике, и открыл путь для дальнейшего развития точного естествознания.
Мощные идеи Ньютона не могли бы развиться без достаточной математической основы. Такая основа была создана самим Ньютоном, когда он открыл дифференциальное и интегральное исчисления. Эти учения, развитые независимо Ньютоном и Готтфридом Вильгельмом Лейбницем (1646—1716), являются краеугольным камнем современной математики. Таким образом, Ньютон является одним из величайших первооткрывателей не только в области механики, но и в области новой математики.
Основной закон динамики Ньютона состоит в следующем. Сила f, под действием которой движется материальное тело, равна массе т тела, умноженной на ускорение а движения, т. е.
f = ma.
Ускорение определяет приращение скорости в единицу времени. Если тело M находится в части простран-
198
§ I. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ НЬЮТОНА
ства, в которой силы отсутствуют (f = 0), то та = 0, и поэтому равно нулю также ускорение а. Таким образом, основной закон динамики Ньютона содержит в себе как частный случай закон инерции, согласно которому тело, находящееся в галилеевой системе, движется равномерно (с постоянной скоростью), если на тело не действуют никакие внешние силы.
Пусть мгновенная скорость тела M в системе К равна и. Если U = Ui И и = иг суть его скорости в моменты времени U и 4 (>h), то приращение скорости в течение промежутка времени At=t2 — ti равно Au —U2 — щ. Разделив Au на время At, мы получим приращение скорости в единицу времени. Следовательно, ускорение равно
Однако эта формула точна только в том случае, когда ускорение а постоянное, т. е. когда движение тела M ускоряется или замедляется равномерно (в первом случае а больше нуля, а во втором — меньше нуля). Так происходит, например, при свободном падении тела. Ускорение g, обусловленное силой притяжения Земли, можно рассматривать приближенно постоянным (g = 9,81 м/сек2).
Закон Ньютона сохраняет свою универсальную применимость и в том случае, когда сила и ускорение зависят от положения и времени. Тогда приращение Au скорости, деленное на время At, дает уже не точное, мгновенное ускорение тела М, а «среднее ускорение» в промежутке времени At. Мгновенное ускорение в момент времени t = ti получается как предельное значение частного от деления средней скорости Au на промежуток времени At при неограниченном уменьшении At. Следовательно, отношение (1) дает значение мгновенного ускорения В момент времени t = ti тем точнее, чем меньше берется промежуток времени А/1).
’) Мгновенное ускорение получается из среднего ускорения в точности так же, как мгновенная скорость — из средней скорости (стр. 146—147). Таким образом, скорость есть «производная пути по времени», а ускорение — «производная скорости по времени».
199
ГЛ. IV. КЛАССИЧЕСКАЯ И РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ДИНАМИКА
С этой оговоркой мы будем пользоваться в дальнейшем средним ускорением (1) вместо мгновенного ускорения.
Основной закон Ньютона позволил взглянуть на открытые Галилеем законы падения тел в совершенно новом свете. Теперь под законы Галилея была подведена единая динамическая точка зрения. Согласно Ньютону, падение тела происходит потому, что два материальных тела притягиваются одно к другому с силой, прямо пропорциональной массам этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между телами. Следовательно, падение яблока с дерева представляет собой только частный случай общего закона тяготения Ньютона.